高中数学人教A版（2019）必修二第六章第四节平面向量的应用

试卷日期：2022-03-26 考试类型：月考试卷

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一、单选题

1. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = \sqrt{2}$ ， $A = 45 °$ ， $C = 105 °$ ，则 $b =$ （）

A、3 B、2 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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2. 如图，已知 $B D$ 为 $△ A B C$ 中 $∠ A B C$ 的角平分线，若 $B C = 2 A B = 2$ ， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，则 $\vec{B D} \cdot \vec{A C} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、 $\frac{3}{2}$

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3. 在四边形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $A B =2 C D = 4$ ， $A C = 4$ ， $B D = 5$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{11}$ C、 $\sqrt{13}$ D、 $\sqrt{15}$

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4. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a = 1$ ， $a + c = 2 b (\cos A + \cos C)$ ，若满足条件的 $△ A B C$ 有两个，则 $b$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1)$

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5. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 ${(a + b)}^{2} - c^{2} = 4$ ， $C = 120 °$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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6. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到 $A$ 处时测得公路北侧一山顶 $D$ 在西偏北45°的方向上，行驶 $600 m$ 后到达 $B$ 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为60°，则此山的高度 $C D$ 为（）

A、 $600 \sqrt{3}$ B、 $600 \sqrt{2}$ C、 $600 \sqrt{6}$ D、600

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7. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\tan B = 2 \tan C$ ， $b = 1$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 在 $△ A B C$ 中，A，B，C分别为 $△ A B C$ 三边a，b，c所对的角．若 $\cos B + \sqrt{3} \sin B = 2$ ，且满足关系式 $\frac{\cos B}{b} + \frac{\cos C}{c} = \frac{2 \sin A \sin B}{3 \sin C}$ ，则 $\frac{a + b + c}{\sin A + \sin B + \sin C} =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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二、多选题

9. 如图， $△ A B C$ 的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对应的三条边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $∠ A B C$ 为钝角， $B D ⊥ A B$ ， $\cos 2 ∠ A B C = - \frac{7}{25}$ ， $c = 2$ ， $b = \frac{8 \sqrt{5}}{5}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $sin A = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $B D = 1$ C、 $5 \vec{C D} = 3 \vec{D A}$ D、 $△ C B D$ 的面积为 $\frac{3}{5}$

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10. 已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则下列条件能推导出 $△ A B C$ 一定是锐角三角形的是（）

A、 $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ B、 $\frac{\sin A}{5} = \frac{\sin B}{6} = \frac{\sin C}{7}$ C、 $\cos^{2} A + \cos^{2} B - \cos^{2} C = 1$ D、 $\tan A + \tan B + \tan C > 0$

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11. 已知点 $P$ 在 $△ A B C$ 所在平面内，则（）

A、满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = \vec{P B} \cdot \vec{P C} = \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ 时， $P$ 是 $△ A B C$ 的外心 B、满足 $\overset{⇀}{P A} + \overset{⇀}{P B} + \overset{⇀}{P C} = \vec{0}$ 时， $P$ 是 $△ A B C$ 的重心 C、满足 $\sin A \cdot \overset{⇀}{P A} + \sin B \cdot \overset{⇀}{P B} + \sin C \cdot \overset{⇀}{P C} = \vec{0}$ 时， $P$ 是 $△ A B C$ 的内心 D、满足 $\sin 2 A \cdot \overset{⇀}{P A} + \sin 2 B \cdot \overset{⇀}{P B} + \sin 2 C \cdot \overset{⇀}{P C} = \vec{0}$ 时， $P$ 是 $△ A B C$ 的垂心

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12. 在△ $A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $B C = 1$ ，P为△ $A B C$ 内一点， $∠ B P C = 90 °$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $P B = \frac{1}{2}$ ，则 $P A = \frac{\sqrt{13}}{2}$ B、若 $∠ A P B = 150 °$ ，则 $\frac{P B}{P C} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ C、△ $B P C$ 的面积的最大值为 $\frac{1}{4}$ D、△ $A B P$ 的面积的取值范围是 $(0 ， \frac{3 \sqrt{3}}{8}]$

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三、填空题

13. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = \sqrt{2} b c$ ， $c = 4$ ，则边 $a$ 的取值范围是．

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14. 在 $△ A B C$ 中，点D在边 $A B$ 上， $C D ⊥ B C ， A C = 5 \sqrt{3} ， C D = 5 ， B D = 2 A D$ ，则 $A D$ 的长为．

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15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\tan A \tan B = 4 (\tan A + \tan B) \tan C$ ，则 $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} =$ .

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16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $a \sin B = \sqrt{3} b \cos A$ ， $a = 3$ ，若点 $P$ 在边 $B C$ 上，并且 $B P = 2 P C$ ， $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，则 $O P$ 之长为．

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四、解答题

17. 已知a，b，c是 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边，且 $5 \cos B \cos C + 2 = 5 \sin B \sin C + \cos 2 A$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $c \sin C = 4 (a + b) (\sin A - \sin B)$ ， $△ A B C$ 的周长为 $\frac{7 + \sqrt{13}}{2}$ ，求c．

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18. $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\sqrt{3} b s i n C + c c o s B = \sqrt{3} c$ ，且 $C = \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求 $A$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为 $8 + 4 \sqrt{3}$ ，求 $A C$ 边上中线 $B D$ 的长度．

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19. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且__________.请从下面三个条件中任选一个，补充在题目的横线上，并作答.
① $cos A = cos 2 B cos 2 C - sin 2 B sin 2 C$ ；② $c (sin B + sin C) = a sin A - b sin B$ ：③ $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4} (a^{2} - b^{2} - c^{2})$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若点 $D$ 满足 $\vec{B D} = \frac{c}{b} \vec{D C}$ ，且 $| \vec{A D} | = 1$ ，求 $4 c + b$ 的最小值.

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20. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $A D = \sqrt{3}$ ， $B D ⊥ B C$ ， $B C = \sqrt{3} B D$ ．

(1)、若角 $∠ A = \frac{5}{6} π$ 时，求四边形 $A B C D$ 的面积；

(2)、求 $A C$ 的最大值．

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21. 从① $(a - c) (a + c) = b (a - b)$ ，② $\sqrt{3} a \cos C = c \sin A$ ，③ $\cos^{2} (\frac{π}{2} + C) + \cos C = \frac{5}{4}$ 三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答：
已知 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知_________.

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $b = 2$ ，求a的取值范围.

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22. 在△ $A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .现有下列四个条件：① $a = \sqrt{3}$ ，② $b = 2$ ，③ $\sqrt{3} (b - a \cos C) = a \sin C$ ，④ $a^{2} + c^{2} - b^{2} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} a c$ .

(1)、③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；

(2)、请在上述四个条件中选择使△ $A B C$ 有解的三个条件，并求出△ $A B C$ 的面积.

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高中数学人教A版（2019） 必修二 第六章 第四节 平面向量的应用

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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