高中数学人教A版（2019）必修二第六章第三节平面向量的概念与运算

试卷日期：2022-03-26 考试类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知△ $A B C$ 的边 $B C$ 上有一点 $D$ 满足 $\overset{⇀}{B D} = 3 \overset{⇀}{D C}$ ，则 $\overset{⇀}{A D}$ 可表示为（　　）

A、 $\overset{⇀}{A D} = - 2 \overset{⇀}{A B} + 3 \overset{⇀}{A C}$ B、 $\overset{⇀}{A D} = \frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ C、 $\overset{⇀}{A D} = \frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$ D、 $\overset{⇀}{A D} = \frac{2}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A C}$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (λ ， 1)$ ， $\vec{b} = (4 ， λ)$ ．若 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | = | \vec{a} | + | 2 \vec{b} |$ ，则实数 $λ =$ （）

A、2或-2 B、2 C、0 D、-2

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3. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， - 4) ， \vec{b} = (- 6 ， λ)$ ， $\vec{c} = (μ ， \frac{λ}{2})$ ，满足 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ，则 $μ =$ （）

A、 $\frac{13}{2}$ B、 $\frac{16}{3}$ C、-3 D、 $- \frac{16}{3}$

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4. 已知 $A (2 ， - 1) ， B (1 ， 4) ， C (s i n \frac{3 π}{2} ， c o s \frac{5 π}{3})$ ， $O$ 为坐标原点，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A B} = (1 ， - 5)$ B、 $A ， O ， C$ 三点共线 C、 $A ， B ， C$ 三点共线 D、 $\vec{O A} + \vec{O B} = 3 \vec{O C}$

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5. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 2) ， \vec{b} = (- 1 ， 2)$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $\overset{⇀}{a} // \overset{⇀}{b}$ B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 可以作为基底 C、 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ＝ $\vec{0}$ D、 $\vec{b}$ ﹣ $\vec{a}$ 与 $\vec{a}$ 方向相反

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6. 已知 $\vec{a} = (\sin 15 °, \cos 15 °)$ ， $\vec{b} = (\cos 30 °, \sin 30 °)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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7. 已知向量 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 满足 $(\overset{⇀}{a} + 2 \overset{⇀}{b}) \cdot (5 \overset{⇀}{a} - 4 \overset{⇀}{b}) = 0$ ，且 $| \overset{⇀}{a} | = | \overset{⇀}{b} | = 1$ ，则 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角 $θ$ 为（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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8. 设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且 $\vec{A O} + \vec{O B} = \vec{D O} + \vec{O C}$ ，则四边形ABCD是（）

A、空间四边形 B、平行四边形 C、等腰梯形 D、矩形

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9. 已知D，E为 $△ A B C$ 所在平面内的点，且 $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A D}$ ， $\vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{B C} = 2 \vec{B E}$ ，若 $\vec{C E} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ ，则 $\frac{n}{m} =$ （）

A、-3 B、3 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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10. 已知正 $△ A B C$ 的边长为2，A，B分别在x轴，y轴的正半轴（含原点）上滑动，则 $\vec{O C} \cdot \vec{O A}$ 的最大值是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、2 D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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11. 已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为60°， $\vec{a} = (2 ， 0)$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} |$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、4 D、 $\frac{1}{2}$

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12. 如图所示， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线. $O$ 是 $A D$ 上的一点，且 $\vec{A O} = 2 \vec{O D}$ ，若 $\vec{C O} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，其中 $λ ， μ \in$ $R$ ，则 $λ + μ$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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二、填空题

13. $△ A B C$ 中， $A B = A C = 3 ， A B ⊥ A C ，$ 点 $D$ 在直线 $B C$ 上，且 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{B C}$ 等于．

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14. 在 $△ A B C$ 中，点 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心， $| \vec{A B} | = 6$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A O} =$ .

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15. 已知向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个互相垂直的单位向量， $O$ 是坐标原点， $\vec{O A} = 3 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{O B} = 2 \vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}} (k > 0)$ ，若 $△ O A B$ 是直角三角形，则实数 $k$ 的值为．

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16. 已知a，b为单位向量，且a-b=0，若c=2a- $\sqrt{5}$ b，则cos<a，c>=。

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三、解答题

17. 设平面向量 $\overset{⇀}{a} = (cos x, sin x)$ ， $\overset{⇀}{b} = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ， $| \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} | = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求 $cos (x - \frac{π}{4})$ 的值；

(2)、若 $x \in [\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ ，求 $cos 2 x$ 的值.

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18. 在等边 $△ A B C$ 中， $\vec{C M} = 2 \vec{M B}$ ，点 $Q$ 为 $A C$ 的中点， $B Q$ 交 $A M$ 于点 $N$ .

(1)、证明：点 $N$ 为 $B Q$ 的中点；

(2)、若 $\vec{N A} \cdot \vec{N M} = - 6$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (- 3, 2)$ ， $\overset{⇀}{b} = (2, 1)$ ， $\overset{⇀}{c} = (3, - 1)$

(1)、若 $\overset{⇀}{a} - t \overset{⇀}{b}$ 与 $\overset{⇀}{c}$ 共线，求实数 $t$ ；

(2)、求 $| \overset{⇀}{a} + t \overset{⇀}{b} |$ 的最小值及相应的 $t$ 值.

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20. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为120°，且 $| \vec{a} | = 1, | \vec{b} | = 2, \vec{c} = m \vec{a} + 3 \vec{b}$ ．
（Ⅰ）当 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ 时，求实数m的值；

（Ⅱ）当 $m = 6$ 时，求向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{c}$ 的夹角．

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21. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为不共线的单位向量， $O, A, B$ 为向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 所在平面上的不同的三点，且 $\vec{O A} = x \vec{a}$ ， $\vec{O B} = y \vec{b}$ ．
（Ⅰ）若 $\vec{O C} = 3 \vec{a} + 2 \vec{b}$ ，且 $A, B, C$ 三点共线，试将y表示成x的函数，并求该函数的定义域；

（Ⅱ）若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为60°，求 $| \vec{a} + m \vec{b} |$ 的最小值，并求此时实数m的值．

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22. 设 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 是两个不共线的向量， $t \in R$ .

(1)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的起点相同，且 $\vec{a}$ ， $t \vec{b}$ ， $\frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b})$ 三个向量的终点在同一直线上，求 $t$ ；

(2)、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，那么 $t$ 为何值时， $| \vec{a} - t \vec{b} |$ 的值最小？

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高中数学人教A版（2019） 必修二 第六章 第三节 平面向量的概念与运算

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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