高中数学人教A版（2019）选择性必修二第五章一元函数的导数及其应用章末测验二

试卷日期：2022-03-22 考试类型：单元试卷

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一、单选题

1. 如图是网络上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可导”的谐音生动形象地说明了高等数学中“连续”和“可导”两个概念之间的关系．根据该表情包的说法， $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处连续是 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处可导的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 已知命题 $p$ ：“ $x > 2$ 且 $y > 3$ ”是“ $x + y > 5$ ”的充要条件；命题 $q$ ： $\exists x_{0} \in R$ ，曲线 $f (x) = x^{3} - x$ 在点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 处的切线斜率为 $- 1$ ，则下列命题为真命题的是（）

A、 $\neg (p \lor q)$ B、 $p \lor (\neg q)$ C、 $p \land q$ D、 $(\neg p) \land q$

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3. 已知 $a$ 为常数，函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} + x (l n x - 1)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $- \frac{1}{e} < a < 0$ B、 $0 < a < \frac{1}{e}$ C、 $a < - \frac{1}{e}$ D、 $a > \frac{1}{e}$

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4. 函数 $f (x) = x^{2}$ 在区间 $[2 ， 4]$ 上的平均变化率等于（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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5. 函数 $f (x) = e^{x}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为（）

A、 $y = x$ B、 $y = x + e$ C、 $y = e x + 1$ D、 $y = x + 1$

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6. 曲线f(x)=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、3

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7. 若函数 $f (x) = 3^{x} + sin 2 x$ ，则（）

A、 $f^{'} (x) = 3^{x} ln 3 + 2 cos 2 x$ B、 $f^{'} (x) = 3^{x} + 2 cos 2 x$ C、 $f^{'} (x) = 3^{x} ln 3 + cos 2 x$ D、 $f^{'} (x) = 3^{x} ln 3 - 2 cos 2 x$

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8. 函数 $f (x) = \frac{1}{3} x - l n x$ 的零点个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、多选题

9. 若函数 $f (x) = (x - a) e^{x} (a \in R)$ ，则（）

A、函数 $y = f (x)$ 的值域为R B、函数 $g (x) = x f (x)$ 有三个单调区间 C、方程 $f (x) + x = 0$ 有且仅有一个根 D、函数 $y = f (f (x))$ 有且仅有一个零点

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10. 对于函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + c x + d$ ， $c ， d \in R$ ，下列说法正确的是（）

A、存在c，d使得函数 $f (x)$ 的图像关于原点对称 B、 $f (x)$ 是单调函数的充要条件是 $c \geq \frac{1}{4}$ C、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为函数 $f (x)$ 的两个极值点，则 $x_{1}^{4} + x_{2}^{4} > \frac{1}{8}$ D、若 $c = d = - 2$ ，则过点 $P (3 ， 0)$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线有且仅有2条

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11. 下列求导正确的是（）

A、若 $f (x) = \frac{1}{x}$ ，则 $f^{'} (x) = \ln x$ B、若 $f (x) = 3 e^{- x}$ ，则 $f^{'} (x) = - 3 e^{- x}$ C、若 $f (x) = x^{2} + \log_{2} x$ ，则 $f^{'} (x) = 2 x + \frac{1}{x \ln 2}$ D、若 $f (x) = \sin x + \cos \frac{π}{3}$ ，则 $f^{'} (x) = \cos x - \sin \frac{π}{3}$

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12. 给出定义：若函数 $f (x)$ 在 $D$ 上可导，即 $f^{'} (x)$ 存在，且导函数 $f^{'} (x)$ 在 $D$ 上也可导，则称 $f (x)$ 在 $D$ 上存在二阶导函数，记 $f^{″} (x) = {(f^{'} (x))}^{'}$ ，若 $f^{″} (x) < 0$ 在 $D$ 上恒成立，则称 $f (x)$ 在 $D$ 上为凸函数．以下四个函数在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上不是凸函数的是（）

A、 $f (x) = \sin x - \cos x$ B、 $f (x) = \ln x - 2 x$ C、 $f (x) = - x^{3} + 2 x - 1$ D、 $f (x) = x e^{x}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) = 2 f^{'} (\ln 2) x + e^{x}$ （其中e为自然对数的底数），则 $f^{'} (\ln 2) =$ ．

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14. 函数 $y = {[f (x)]}^{g (x)}$ 在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到 $\ln y = g (x) \cdot \ln f (x)$ ，然后两边同时求导得 $\frac{y^{'}}{y} = g^{'} (x) \ln f (x) + g (x) \frac{f^{'} (x)}{f (x)}$ ，
于是 $y^{'} = {[f (x)]}^{g (x)}$ $\cdot [g^{'} (x) \ln f (x) + g (x) \frac{f^{'} (x)}{f (x)}]$ ，用此法探求 $y = {(x + 1)}^{x} (x > 0)$ 的导数.

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15. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x$ 的图象在点 $(1 ， 1)$ 处的切线方程为 $2 x - y - 1 = 0$ ，则函数 $h (x) = {[f (x)]}^{3} + f (x) - 2 x$ 的零点个数为.

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16. 已知函数 $f (x) = a x^{2}$ 与 $g (x) = l n x$ 的图象在公共点处有共同的切线，则实数 $a$ 的值为．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{2}{x} + a l n x - 2 (a > 0) .$

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $P (1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $y = x + 2$ 垂直，求函数 $y = f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对于 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ 都有 $f (x) > 2 (a - 1)$ 成立，试求a的取值范围；

(3)、记 $g (x) = f (x) + x - b (b \in R)$ ，当 $a = 1$ 时，函数 $g (x)$ 在区间 $[e^{- 1} ， e]$ 上有两个零点，求实数b的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = a l n x + x$ ， $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (a + 2) x + \frac{3}{2} a (a \in R)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $a > 1$ ， $h (x) = f (x) + g (x)$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为 $h (x)$ 的两个极值点，证明： $h (x_{1}) + h (x_{1}) < \frac{7}{2}$ .

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19. 已知函数f（x）＝x³﹣3ax+2，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为
3x+y+m＝0．

（Ⅰ）求实数a ， m的值；

（Ⅱ）求f（x）在区间[1，2]上的最值．

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20. 已知函数 $f (x) = \ln (x + m) + n$ ，在 $x = 1$ 处的切线方程为 $x - y = 0$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (x) \leq a e^{x - 1}$ 对定义域内 $x$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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21. 求下列函数的导数：

(1)、 $y = 3 x^{2} + \cos x$ ；

(2)、 $y = \frac{\sin x}{x^{2}}$ ；

(3)、 $y = (x + 1) \ln x$ .

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22. 已知函数 $f (x) = 2 a x + b x - 1 - 2 l n x (a \in R)$ ．
(Ⅰ)当 $b = 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调区间；

(Ⅱ)若对任意的 $a \in [1 ， 3]$ 和 $x \in (0 ， + \infty) ， f (x) \geq 2 b x - 3$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围．

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高中数学人教A版（2019）选择性必修二 第五章 一元函数的导数及其应用章末测验 二

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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