高中数学人教A版（2019）选择性必修二第五章一元函数的导数及其应用章末测验一

试卷日期：2022-03-22 考试类型：单元试卷

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一、单选题

1. 下列各式正确的是（）

A、 ${(l n x)}^{^{'}} = l n x$ B、 ${({(x + 1)}^{2})}^{^{'}} = 2 x$ C、 ${(^{} \cdot s i n x)}^{'} = e^{x} (s i n x + c o s x)$ D、 ${(x^{- 5})}^{^{'}} = - \frac{1}{5} x^{- 6}$

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2. 已知 $f (x)$ 是奇函数并且是 $R$ 上的单调函数，若方程 $f (x^{3} + 1) + f (- 3 x - λ) = 0$ 有三个不同的实数解，则实数 $λ$ 的取值范围为（）

A、 $(- 3 ， 1)$ B、 $(- \infty ， - 1) \cup (3 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 3)$ D、 $(- \infty ， - 3) \cup (1 ， + \infty)$

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3. 若函数 $f (x) = e^{x} + x^{3} - 2 x^{2} - a x$ ，则 $a > e$ 是 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 有两个不同零点的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分且必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知a， $b$ 为正实数，直线 $y = x - 2 a$ 与曲线 $y = l n (x + b)$ 相切，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值是（）

A、6 B、 $4 \sqrt{2}$ C、8 D、 $2 \sqrt{2}$

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5. 已知a>0，函数 $f (x) = 2 l n (a x) - x$ ，若函数 $F (x) = f (f (x)) - x$ 恰有两个零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ B、 $[\frac{1}{e} ， + \infty)$ C、 $(e ， + \infty)$ D、 $[e ， + ∞)$

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6. 现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V（单位：L）与直径d（单位： $d m$ ）的关系式为 $V = \frac{π d^{3}}{6}$ ，当 $d = 2 d m$ 时，气球体积的瞬时变化率为（）

A、2π B、π C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{4}$

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7. 定义在 $R$ 上的函数序列 ${f_{n} (x)}$ 满足 $f_{n} (x) < \frac{1}{n} {f_{n}}^{^{'}} (x)$ （ ${f_{n}}^{^{'}} (x)$ 为 $f_{n} (x)$ 的导函数），且 $\forall x \in N^{*}$ ，都有 $f_{n} (0) = n$ ．若存在 $x_{0} > 0$ ，使得数列 ${f_{n} (x_{0})}$ 是首项和公比均为 $q$ 的等比数列，则下列关系式一定成立的是（）．

A、 $0 < q < 2 \sqrt{2} e^{x_{0}}$ B、 $0 < q < \sqrt[3]{3} e^{x_{0}}$ C、 $q > 2 \sqrt{2} e^{x_{0}}$ D、 $q > \sqrt[3]{3} e^{x_{0}}$

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8. 已知 $f (x) = m e^{x} - 2 x^{3}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在不同的三点 $(x_{1} ， f (x_{1}))$ ， $(x_{2} ， f (x_{2}))$ ， $(x_{3} ， f (x_{3}))$ 处的切线均平行于x轴，则m的取值范围是（）

A、 $(\frac{12}{e^{2}} ， + \infty)$ B、 $(0 ， \frac{e^{2}}{12})$ C、 $(\frac{24}{e^{2}} ， + \infty)$ D、 $(0 ， \frac{24}{e^{2}})$

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二、多选题

9. 已如函数 $f (x) = e^{x} \cdot x^{3}$ ，则以下结论正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 存在极大值和极小值 B、 $f (e^{- 2}) < f (1) < f (l n π)$ C、函数 $y = f (x)$ 存在最小值 D、对于任意实数k，方程 $f (x) = k x$ 最多有4个实数解

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10. 函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a ， b ， c ， d \in R)$ 的图象如图所示，则下列结论正确的有（）

A、 $a > 0$ B、 $b < 0$ C、 $c < 0$ D、 $a + b + c > 0$

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11. 已知函数 $f (x) = x + x^{2} - l n x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{1}{2})$ 上单调递减，在 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 有2个不同的零点 C、若a， $b \in (0 ， + \infty)$ ，则 $f (a) + f (b) \leq 2 f (\frac{a + b}{2})$ D、若 $f (a) = f (b)$ 且 $a \neq b$ ，则 $a + b > 1$

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12. 函数 $f (x)$ 的定义域为 $(a ， b)$ ，导函数 $f^{'} (x)$ 在 $(a ， b)$ 内的图象如图所示，则（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(a ， b)$ 内一定不存在最小值 B、函数 $f (x)$ 在 $(a ， b)$ 内只有一个极小值点 C、函数 $f (x)$ 在 $(a ， b)$ 内有两个极大值点 D、函数 $f (x)$ 在 $(a ， b)$ 内可能没有零点

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = x^{2} - 2 l n x$ 在点 $(1 ， 1)$ 处的切线方程是.

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14. 对任意 $x > 0$ ，若不等式 $a x^{2} \leq e^{x} + a x l n x$ 恒成立，则实数a的最大值为．

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15. 若函数 $f (x) = a^{x} - x^{2} (a > 1)$ 恰有两个零点，则a的值为．

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16. 已知函数 $f (x) = a^{x} - x^{2}$ ，其中 $a > 1$ .若 $a = 2$ ，则 $f (x)$ 有个零点；若 $f (x)$ 有两个零点，则实数 $a$ 的值构成的集合是.

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四、解答题

17. 设实数 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ，函数 $f (x) = \frac{a x}{e^{2}} - l o g_{a} x ， x \in (0 ， + \infty)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ .
（i）求 $a$ 的取值范围；
（ii）证明： $x_{1} + 2 x_{2} > 3 a$ .

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18. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{2 x} + a x^{2} - a x$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个不同的零点，求 $a$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} + 2 a x - 1 ， g (x) = 2 a l n (x + 1) - 4 a x ， a \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对任意的 $x \in [0 ， + ∞) ， f (x) + g (x) ⩾ x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = x l n x - 4 x ， g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 l n x + \frac{7}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、证明：函数 $h (x) = f (x) + g (x)$ 仅有一个零点.

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21. 已知函数 $f (x) = (e^{- x} - 2) (x^{2} - k) - 2 x - 2$ ，其中 $k \in R$ ．

(1)、当 $k = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 1 ， f (- 1))$ 处的切线方程；

(2)、若对任意 $x \in [- 1 ， + \infty)$ ，有 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求实数k的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 1$ ， $f^{^{'}} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导数.

(1)、求 $f^{^{'}} (x) < 3 x$ 的解集；

(2)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程.

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高中数学人教A版（2019）选择性必修二 第五章 一元函数的导数及其应用章末测验一

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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