高中数学人教A版（2019）选择性必修二 5.3 导数在研究函数中的应用函数的最大（小）值

试卷日期：2022-03-20 考试类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知函数 $f (x) = e^{x} + x^{3} + (a - 3) x + 1$ 在区间(0，1)上有最小值，则实数a的取值范围是（）

A、(-e，2) B、(-e，1-e) C、(1，2) D、 $(- ∞ ， 1 - e)$

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2. 函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 5$ 在区间 $[- 4 ， 4]$ 上的最大值是（）

A、10 B、-71 C、-15 D、-22

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3. 函数 $f (x) = x - \ln x$ 与 $g (x) = x e^{x} - \ln x - x$ 的最小值分别为a，b，则（）

A、 $a = b$ B、 $a > b$ C、 $a < b$ D、a，b的大小不能确定

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4. 若 $x = 2$ 是函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - x - 2 \ln x$ 的极值点，则函数（）

A、有最小值 $- 2 \ln 2$ ，无最大值 B、有最大值 $- 2 \ln 2$ ，无最小值 C、有最小值 $- 2 \ln 2$ ，最大值 $2 \ln 2$ D、无最大值，无最小值

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5. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{x} + x \ln x$ ， $g (x) = x^{3} - x^{2} - 3$ ，若 $\forall x_{1} ， x_{2} \in [\frac{1}{2} ， 2] ，$ 都有 $f (x_{1}) - g (x_{2}) \geq 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[0 ， + \infty)$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $[3 ， + \infty)$

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6. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln x ， x > 0 ， \\ x - 2 ， x ⩽ 0 ， \end{array}$ 直线 $y = a$ 与 $y = f (x)$ 的图象相交于A、B两点，则 $| A B |$ 的最小值为（）

A、3 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $e^{- 2}$ D、 $\ln 2$

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7. 若函数 $h (x) = \ln x - \frac{1}{2} a x^{2} - 2 x$ 在 $[1 ， 4]$ 上存在单调递减区间，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{7}{16} ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， + \infty)$ C、 $[- 1 ， + \infty)$ D、 $(- \frac{7}{16} ， + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x) = 4 x^{3} - a x^{2} - 2 b x + 2$ 在 $x = 1$ 处取得极小值-3，且 $g (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 1$ 在区间 $(c ， c + 4)$ 上存在最小值，则 $a + b + c$ 的取值范围是（）

A、 $(4 ， 8)$ B、 $[4 ， 8)$ C、 $(5 ， 8)$ D、 $[5 ， 8)$

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9. 已知函数 $f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ ， $g (x) = 2 x^{2} - 4 b x + 3$ ，若对任意 $x_{1} \in (0 ， 2]$ ，存在 $x_{2} \in [1 ， 2]$ ，使 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ ，则实数b的取值范围是（）

A、 $(1 ， \frac{\sqrt{7}}{2}]$ B、 $[\frac{\sqrt{7}}{2} ， 2)$ C、 $[\frac{\sqrt{7}}{2} ， + \infty)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} a x^{2} + a x$ ，则下列结论中正确的是（）

A、存在实数a，使 $f (x)$ 有最小值且最小值大于0 B、对任意实数a， $f (x)$ 有最小值且最小值大于0 C、存在正实数a和实数 $x_{0}$ ，使 $f (x)$ 在 $(- \infty ， x_{0})$ 上递减，在 $(x_{0} ， + \infty)$ 上递增 D、对任意负实数a，存在实数 $x_{0}$ ，使 $f (x)$ 在 $(- \infty ， x_{0})$ 上递减，在 $(x_{0} ， + \infty)$ 上递增

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二、多选题

11. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - a x^{2} + b$ ，若 $f (x)$ 区间 $[0 ， 1]$ 的最小值为-1且最大值为1，则 $a$ 的值可以是（）

A、0 B、4 C、 $3 \sqrt[3]{2}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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12. 若函数 $f (x) = 2 x^{3} - a x^{2} (a < 0)$ 在 $(\frac{a}{2} ， \frac{a + 6}{3})$ 上有最大值，则a的取值可能为（）

A、－6 B、－5 C、－3 D、－2

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13. 若存在直线 $y = k x + b$ ，使得函数 $F (x)$ 和 $G (x)$ 对其公共定义域上的任意实数 $x$ 都满足 $F (x) \geq k x + b \geq G (x)$ ，则称此直线 $y = k x + b$ 为 $F (x)$ 和 $G (x)$ 的“隔离直线”，已知函数 $f (x) = x^{2} (x \in R)$ ， $g (x) = \frac{1}{x} (x < 0)$ ， $h (x) = 2 e \ln x$ ，下列命题为真命题的是（）

A、 $F (x) = f (x) - g (x)$ 在 $(- \frac{1}{\sqrt[3]{2}} ， 0)$ 内单调递增 B、 $f (x)$ 和 $g (x)$ 之间存在“隔离直线”，且 $b$ 的最小值为 $- 5$ C、 $f (x)$ 和 $g (x)$ 之间存在“隔离直线”，且 $k$ 的取值范围是 $[- 4 ， 0]$ D、 $f (x)$ 和 $h (x)$ 之间存在唯一的“隔离直线” $y = 2 \sqrt{e} x - e$

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三、填空题

14. 函数f (x)=x+2cosx，x∈[0， $\frac{π}{2}$ ]，的最大值是.

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15. 已知 $f (x) = \ln x + 1$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程是．若方程 $(a x + f (x)) \cdot (x + f (x)) = x^{2}$ 至少有三个不同的实数根，则实数 $a$ 的取值范围是．

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16. 函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ 的最大值为．

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四、解答题

17. 设函数 $f (x) = \frac{1 + \ln (x + 1)}{x} (x > 0)$ ．

(1)、若 $f (x) > \frac{k}{x + 1}$ 恒成立，求整数k的最大值．

(2)、求证： $(1 + 1 \times 2) \times (1 + 2 \times 3) \times \cdot \cdot \cdot \times [1 + n \times (n + 1)] > e^{2 n - 3}$ ．
请考生在22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．

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18. 已知函数 $f (x) = - a x + \frac{x}{l n x} (a \in R)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数．

(1)、求 $f (x)$ 的定义域和导函数；

(2)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若对 $\forall x_{1} \in [e ， e^{2}]$ ，都有 $f (x_{1}) \geq 1$ 成立，且存在 $x_{2} \in [e ， e^{3}]$ ，使 $f^{'} (x_{2}) + \frac{1}{2} a = 0$ 成立，求实数a的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = (x - a) l n x + x^{2}$

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， e]$ 上最大值和最小值；

(2)、令 $g (x) = f (x) - x^{2} + x$ ，当函数 $g (x)$ 恰有两个极值点时，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = (t - x) e^{x} - 2$ ， $g (x) = (t - x) l n (t - x) + x + t$ ，其中t为实数．

(1)、当 $x > 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $t > 1$ 时，若 $f (x) < g (x)$ 恒成立，求最大的整数t．

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21. 函数 $f (x) = a e^{x} - s i n x + 2 x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a \geq 0$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $[0 ， 1]$ 上的最小值；

(3)、直接写出 $a$ 的一个值，使 $f (x) \leq a$ 恒成立，并证明.

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x - 2} - \ln x + \ln a$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程为 $y = \frac{3}{2} x - 1$ ，求a的值；

(2)、若 $f (x) \geq 2$ 恒成立，求a的取值范围

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高中数学人教A版（2019）选择性必修二 5.3 导数在研究函数中的应用 函数的最大（小）值

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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