北京市海淀区2016-2017学年高考理数二模考试试卷

试卷日期：2017-09-13 考试类型：高考模拟

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一、选择题

1. 若集合A={﹣2，0，1}，B={x|x＜﹣1或x＞0}，则A∩B=（）

A、{﹣2} B、{1} C、{﹣2，1} D、{﹣2，0，1}

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2. 二项式 ${(x - \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式的第二项是（）

A、6x⁴ B、﹣6x⁴ C、12x⁴ D、﹣12x⁴

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3. 已知实数x，y满足 ${\begin{matrix} x - y - 1 \geq 0 \\ x + y - 3 \geq 0 \\ y \leq 3 \end{matrix}$ 则2x+y的最小值为（）

A、11 B、3 C、4 D、2

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4. 圆x²+y²﹣2y=0与曲线y=|x|﹣1的公共点个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、0

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5. 已知{a_n}为无穷等比数列，且公比q＞1，记S_n为{a_n}的前n项和，则下面结论正确的是（）

A、a₃＞a₂ B、a₁+a₂＞0 C、 ${a_{n}^{2}}$ 是递增数列 D、S_n存在最小值

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6. 已知f（x）是R上的奇函数，则“x₁+x₂=0”是“f（x₁）+f（x₂）=0”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（）

A、① B、①② C、②③ D、①②③

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8. 已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x₁ ， x₂ ， x₃ ， x₄ ，大圆盘上所写的实数分别记为y₁ ， y₂ ， y₃ ， y₄ ，如图所示．将小圆盘逆时针旋转i（i=1，2，3，4）次，每次转动90^° ，记T_i（i=1，2，3，4）为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T₁=x₁y₂+x₂y₃+x₃y₄+x₄y₁ ．若x₁+x₂+x₃+x₄＜0，y₁+y₂+y₃+y₄＜0，则以下结论正确的是（）

A、T₁ ， T₂ ， T₃ ， T₄中至少有一个为正数 B、T₁ ， T₂ ， T₃ ， T₄中至少有一个为负数 C、T₁ ， T₂ ， T₃ ， T₄中至多有一个为正数 D、T₁ ， T₂ ， T₃ ， T₄中至多有一个为负数

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二、填空题

9. 在极坐标系中，极点到直线ρcosθ=1的距离为．

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10. 已知复数 $z = \frac{1 - i}{i}$ ，则|z|= ．

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11. 在△ABC中，A=2B，2a=3b，则cosB= ．

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12. 已知函数f（x）= $\frac{1}{x} - 2^{x}$ ，则 $f (\frac{1}{2})$ f（1）（填“＞”或“＜”）；f（x）在区间 $(\frac{n - 1}{n} ， \frac{n}{n + 1})$ 上存在零点，则正整数n= ．

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13. 在四边形ABCD中，AB=2．若 $\vec{D A} = \frac{1}{2} (\vec{C A} + \vec{C B})$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{D C}$ = ．

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14. 已知椭圆G： $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < \sqrt{6})$ 的两个焦点分别为F₁和F₂ ，短轴的两个端点分别为B₁和B₂ ，点P在椭圆G上，且满足|PB₁|+|PB₂|=|PF₁|+|PF₂|．当b变化时，给出下列三个命题：
①点P的轨迹关于y轴对称；
②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个；
③|OP|的最小值为2，
其中，所有正确命题的序号是．

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三、解答题

15. 已知函数f（x）=sin2xcos $\frac{3 π}{5} - c o s 2 x s i n \frac{3 π}{5}$ ．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和对称轴的方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最小值．

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16. 为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》，某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选择意向进行调查（调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程）．本次调查结果整理成条形图如下．图中，已知课程A，B，C，D，E为人文类课程，课程F，G，H为自然科学类课程．为进一步研究学生选课意向，结合图表，采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组（以下简称“组M”）．
（Ⅰ）在“组M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？
（Ⅱ）为参加某地举办的自然科学营活动，从“组M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名同学前往，其中选择课程F或课程H的同学参加本次活动，费用为每人1500元，选择课程G的同学参加，费用为每人2000元．
（ⅰ）设随机变量X表示选出的4名同学中选择课程G的人数，求随机变量X的分布列；
（ⅱ）设随机变量Y表示选出的4名同学参加科学营的费用总和，求随机变量Y的期望．

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17. 如图，三棱锥P﹣ABC，侧棱PA=2，底面三角形ABC为正三角形，边长为2，顶点P在平面ABC上的射影为D，有AD⊥DB，且DB=1．
（Ⅰ）求证：AC∥平面PDB；
（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值；
（Ⅲ）线段PC上是否存在点E使得PC⊥平面ABE，如果存在，求 $\frac{C E}{C P}$ 的值；如果不存在，请说明理由．

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18. 已知动点M到点N（1，0）和直线l：x=﹣1的距离相等．
（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）已知不与l垂直的直线l'与曲线E有唯一公共点A，且与直线l的交点为P，以AP为直径作圆C．判断点N和圆C的位置关系，并证明你的结论．

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19. 已知函数f（x）=e^ax﹣x．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线l与直线x+2y+3=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）当a≠1时，求证：存在实数x₀使f（x₀）＜1．

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20. 对于无穷数列{a_n}，记T={x|x=a_j﹣a_i ， i＜j}，若数列{a_n}满足：“存在t∈T，使得只要a_m﹣a_k=t（m，k∈N^*且m＞k），必有a_m+1﹣a_k+1=t”，则称数列{a_n}具有性质P（t）．
（Ⅰ）若数列{a_n}满足 $a_{n} = {\begin{matrix} 2 n ， n \leq 2 \\ 2 n - 5 ， n \geq 3 \end{matrix}$ 判断数列{a_n}是否具有性质P（2）？是否具有性质P（4）？
（Ⅱ）求证：“T是有限集”是“数列{a_n}具有性质P（0）”的必要不充分条件；
（Ⅲ）已知{a_n}是各项为正整数的数列，且{a_n}既具有性质P（2），又具有性质P（5），求证：存在整数N，使得a_N ， a_N+1 ， a_N+2 ， …，a_N+k ， …是等差数列．

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