【培优练】人教版初中数学八年级下册 17.1 勾股定理

试卷日期：2025-04-03 考试类型：单元试卷

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一、选择题

1. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图，在 Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ 。若 $A B = 10$ ，则正方形 $A D E C$ 和正方形 $B C F G$ 的面积和为 ( )

A、80 B、100 C、200 D、无法确定

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3. 已知直角三角形的面积为6cm² ，两直角边的和为7cm，则它的斜边长为（）cm．

A、5 B、6 C、 $\sqrt{26}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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4. 小华新买了一条跳绳，如图1，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈 $90 °$ ，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成如图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1米，小臂到地面的距离约1.2米，则适合小华的绳长为（　　）

A、2.2米 B、2.4米 C、2.6米 D、2.8米

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5. 如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，则 $\sqrt{A B^{2} + B C^{2} + A C^{2}}$ 的值是（）

A、4 B、8 C、10 D、12

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6. 如图、在 $Rt Δ A B C$ 中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ．若 $S_{3} + S_{2} - S_{1} = 18$ ．则图中阴影部分的面积为（）

A、6 B、 $\frac{9}{2}$ C、5 D、 $\frac{7}{2}$

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7. 如图，钓鱼竿 $A B$ 的长为 $6$ m，露在水面上的鱼线 $B C$ 长为 $2$ m．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿 $A B$ 转到 $A B^{'}$ 的位置，此时露在水面上的鱼线 $B^{'} C^{'}$ 长为 $3 \sqrt{2}$ m，则 $C C^{'}$ 的长为（）

A、 $\sqrt{2}$ m B、 $2 \sqrt{2}$ m C、 $\sqrt{3}$ m D、 $2 \sqrt{3}$ m

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8. 如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（　　）

A、3 B、4 C、5 D、6

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9. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = \sqrt{13}$ ， $A C = 2$ ． D为斜边 $A B$ 上一动点，连接 $C D$ ，过点D作 $D E ⊥ C D$ 交边 $B C$ 于点E，若 $△ B D E$ 为等腰三角形，则 $△ C D E$ 的周长为（）

A、 $\sqrt{13} + 3$ B、6 C、 $\sqrt{13} + 2$ D、5

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10. 如图，盒内长、宽、高分别是6cm、3cm、2cm，盒内可放木棒最长的长度是（　　）

A、6cm B、7cm C、8cm D、9cm

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二、填空题

11. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB=5，AE=4，则正方形EFGH的面积为．

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12. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $A B = B C = 1$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，点 $A$ ， $B$ 在数轴上对应的数分别为 $1$ ， $2$ ．以点 $A$ 为圆心， $A C$ 长为半径画弧，交数轴的负半轴于点 $D$ ，则与点 $D$ 对应的数是．

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13. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $B C = 6$ ．若点 P在边AC上移动，则线段BP的最小值是．

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14. 如图，AE⊥AB ，且AE=AB ， BC⊥CD ，且BC=CD ，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成图形的面积S= ．

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15. 如图1是小强在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景；图2是小强锻炼时上半身由 $O N$ 位置运动到与地面 $C D$ 垂直的 $O M$ 位置时的示意图，已知 $O N = 0.8$ 米， $α = 30 °$ ，则M、N两点的距离是米．

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16. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 90 °$ ， $A B = B C = A D = 5$ ，对角线 $A C ⊥ C D$ ，则线段 $C D$ 的长为．

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三、解答题

17. 水池中有水，水面是一个边长为10尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的终点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？

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18. 为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路.如图，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路AC，AD和AB，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H处连接，且公路DH和公路AB互相垂直，已知AC=9千米，AB=15千米，BD=5千米.

(1)、求公路CD、AD的长度；

(2)、若修公路DH每千米的费用是2万元，请求出修建公路DH的费用．

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19. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢” $.$ 又到了放风筝的最佳时节．某校八年级 $(1)$ 班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度 $C E ($ 如图 $)$ ，他们进行了如下操作： $①$ 测得水平距离 $B D$ 的长为 $8$ 米； $②$ 根据手中剩余线的长度计算出风筝线 $B C$ 的长为 $17$ 米； $③$ 牵线放风筝的小明的身高为 $1.5$ 米．

(1)、求风筝的垂直高度 $C E$ ；

(2)、如果小明想风筝沿 $C D$ 方向下降 $9$ 米，则他应该往回收线多少米？

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20. 小聪发现美宜佳超市装的是自动门，自动门上方装有一个感应器，当人体进入感应器的感应范围时，感应门就会自动打开.如图，点 $A$ 处装着一个感应器，感应器的最大感应距离恰好等于它离地的高度 $A B$ ，已知小聪的身高为1.8米，当他走到离门2.4米时（ $B C = 2.4$ 米），感应门自动打开，即 $A B = A D$ ，求感应器的离地高度 $A B$ 为多少米？

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21. 如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向 $340 k m$ 的B处有一台风中心，沿 $B C$ 方向以 $20 k m / h$ 的速度移动，已知城市A到 $B C$ 的距离 $A D$ 为 $160 k m$ ，

(1)、台风中心经过多长时间从B点移到D点？

(2)、如果在距台风中心 $200 k m$ 的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？

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22. 如图所示，某公路一侧有A、B两个送奶站，C为公路上一供奶站，CA和CB为供奶路线，现已测得AC＝5km ， BC＝12km ， AB＝13km ， ∠1＝30°，若有一人从C处出发，沿公路边向右行走，速度为3km/h ，问：多长时间后这个人距B送奶站最近？

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23. 等边△ABC的边长为2，P为△ABC内一点，连接BP ， PC ，延长PC到点D ，使CD＝PC ．

(1)、如图1，延长BC到点E ，使CE＝BC ，连接AE ， DE ．
①求证：BP∥DE；
②∠BAE＝ ▲ ；若BP⊥AC ，求∠AED的度数；

(2)、如图2，连接AD ，若BP⊥AD ， BP＝1，求AD的长．

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