2025年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）数学试题

试卷日期：2025-01-16 考试类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = {- 1, 0, 1}, B = {0, 1, 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${1}$ C、 ${0, 1}$ D、 ${- 1, 0, 1, 4}$

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2. 函数 $f (x) = c o s (x + \frac{π}{4})$ 的最小正周期是（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $2 π$

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3. $| 2 - 4 i | =$ （）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{5}$ D、6

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4. 已知向量 $\vec{a} = (0, 1), \vec{b} = (1, 0)$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) =$ （）

A、2 B、1 C、0 D、 $- 1$

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5. 双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm x$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $y = \pm 3 x$ D、 $y = \pm 4 x$

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6. 底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ B、 $π$ C、 $2 π$ D、 $3 π$

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7. 在 $△ A B C$ 中， $B C = 8, A C = 10, c o s ∠ B A C = \frac{3}{5}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、6 B、8 C、24 D、48

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8. 已知函数 $f (x) = x | x - a | - 2 a^{2}$ ，若当 $x > 2$ 时， $f (x) > 0$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $[- 2, 1]$ C、 $[- 1, 2]$ D、 $[- 1, + \infty)$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知 $F (2, 0)$ 是抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ 的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（）

A、 $p = 4$ B、 $| M F | \geq | O F |$ C、以M为圆心且过F圆与C的准线相切 D、当 $∠ O F M = 120 °$ 时， $△ O F M$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$

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10. 在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数 $s i n h x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，双曲余弦函数 $c o s h x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，双曲正切函数 $t a n h x = \frac{s i n h x}{c o s h x}$ ．则（）

A、双曲正弦函数是增函数 B、双曲余弦函数是增函数 C、双曲正切函数是增函数 D、 $t a n h (x + y) = \frac{t a n h x + t a n h y}{1 + t a n h x t a n h y}$

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11. 下面四个绳结中，不能无损伤地变为图中的绳结的有（）

A、 B、 C、 D、

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知函 $f (x) = a^{x} (a > 0, a \neq 1)$ ，若 $f (l n 2) f (l n 4) = 8$ ，则 $a =$ ．

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13. 有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为．

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14. 已知曲线 $C : y = x^{3} - \frac{2}{x}$ ，两条直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 均过坐标原点O ，和 $C$ 交于M、N两点， $l_{2}$ 和 $C$ 交于P、Q两点，若三角形 $△ O P M$ 的面积为 $\sqrt{2}$ ，则三角形 $△ M N Q$ 的面积为．

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四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15. 为考察某种药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 的效果，进行了动物（单位：只）试验，得到如下列联表：
药物
疾病
合计
未患病
患病
未服用
100
80
s
服用
150
70
220
合计
250
t
400
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$P (χ^{2} \geq k)$
0.050
0.010
0.001
$k$
3.841
6.635
10.828

(1)、求s，t；

(2)、记未服用药物 $A$ 的动物患疾病 $B$ 的概率为 $P$ ，给出 $P$ 的估计值；

(3)、根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 有效?

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3, a_{n + 1} = \frac{3 a_{n}}{a_{n} + 2}$

(1)、证明：数列 ${1 - \frac{1}{a_{n}}}$ 为等比数列；

(2)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、令 $b_{n} = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ ，证明： $b_{n} < b_{n + 1} < 1$ ．

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17. 已知函数 $f (x) = a l n x + \frac{b}{x} - x$ .

(1)、设 $a = 1, b = - 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 的斜率为2的切线方程；

(2)、若 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极小值点，求b的取值范围.

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18. 已知椭圆C的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1} (- 1,0)$ ， $F_{2} (1,0)$

(1)、求C的方程；

(2)、已知点 $M_{0} (1, 4)$ ，证明：线段 $F_{1} M_{0}$ 的垂直平分线与C恰有一个公共点；

(3)、设M是坐标平面上的动点，且线段 $F_{1} M$ 的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程．

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19. 在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = A C = C D = 1$ ， $∠ A D C = 30 °, ∠ D A B = 120 °$ ，将 $△ A C D$ 沿AC翻折至 $△ A C P$ ，其中P为动点.

(1)、设 $P C ⊥ A B$ ，三棱锥 $P - A B C$ 的各个顶点都在球O的球面上．
（i）证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ；
（ii）求球O的半径

(2)、求二面角 $A - C P - B$ 的余弦值的最小值.

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药物	疾病		合计
药物	未患病	患病	合计
未服用	100	80	s
服用	150	70	220
合计	250	t	400

$P (χ^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828