2025高考一轮复习（人教A版）第五十二讲一元线性回归模型及其应用

试卷日期：2024-12-26 考试类型：一轮复习

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一、选择题

1. 某公司根据近几年经营经验，得到广告支出与获得利润数据如下：
广告支出x/万元
2
5
8
11
15
19
利润y/万元
33
45
50
53
58
64
根据表中数据可得利润y关于广告支出x的经验回归方程为 $\hat{y} = 1.65 x + \hat{a}$ ．据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费（）

A、30万元 B、32万元 C、36万元 D、40万元

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2. 根据下表数据，通过最小二乘法求得 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为： $\hat{y} = 0.3 x + a$ ，则 $a =$ （）
$x$
1
2
3
4
$y$
0.6
0.8
1.1
1.5

A、0.2 B、0.25 C、0.3 D、1

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3. 已知一组样本数据 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n})$ ，根据这组数据的散点图分析x与y之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为 $\hat{y} = 0.85 x - 85.7$ ，则在样本点 $(165, 57)$ 处的残差为（）

A、 $- 2.45$ B、2.45 C、3.45 D、54.55

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4. 设某中学的女生体重 $y$ （单位： $kg$ ）与身高 $x$ （单位： $cm$ ）具有线性相关关系，根据一组样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, n)$ ，用最小二乘法建立的经验回归方程为 $\hat{y} = 0.84 x - 86.71$ .若该中学女生的平均身高为 $160 cm$ ，则该中学女生的平均体重的估计值是（）

A、 $47.69 kg$ B、 $48.69 kg$ C、 $57.69 kg$ D、 $58.69 kg$

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5. 对于一组具有线性相关关系的数据（x_i ， y_i）（i＝1，2，3，……，n），根据最小二乘法求得回归直线方程为 $\bar{y} = \bar{b} x + \bar{a}$ ，则以下说法正确的是（）

A、至少有一个样本点落在回归直线 $\bar{y} = \bar{b} x + \bar{a}$ 上 B、预报变量y的值由解释变量x唯一确定 C、相关指数R²越小，说明该模型的拟合效果越好 D、在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高

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6. 用最小二乘法得到一组数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = 2 x + 3$ ，若 $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} = 30$ ，则 $\sum_{i = 1}^{6} y_{i} =$ （）

A、11 B、13 C、63 D、78

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7. 为了研究某产品的年研发费用 $x$ (单位：万元) 对年利润 $y$ (单位：万元) 的关系，该公司统计了最近 8 年每年投入该产品的年研发费用与年利润的数据，根据统计数据的散点图可以看出 $y$ 与 $x$ 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ . 已知 $\sum_{i = 1}^{8} x_{i} = 80, \sum_{i = 1}^{8} y_{i} = 200, \hat{b} = 2$ . 若该公司对该产品预投入的年研发费用为 25 万元，则预测年利润为（）

A、55 万元 B、57 万元 C、60 万元 D、62 万元

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二、多项选择题

8. 下列说法正确的有（）

A、在经验回归方程 $\hat{y} = - 0.85 x + 2.3$ 中，当解释变量x每增加1时，响应变量y平均减少2.3 B、在经验回归方程 $\hat{y} = - 0.85 x + 2.3$ 中，相对于样本点 $(1, 1.2)$ 的残差为–0.25 C、在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 D、若两个变量的决定系数R²越大，表示残差平方和越小，即拟合效果越好

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9. 设 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n})$ 是变量 $x$ 和 $y$ 的 $n (n \geq 5, n \in N^{*})$ 个样本点，由这些样本点通过最小二乘法得到线性回归直线方程 $l : \hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，下列结论正确的是（）

A、 $y$ 与 $x$ 正相关的充要条件是 $\hat{b} > 0$ B、直线 $l$ 过点 $(\bar{x}, \bar{y})$ C、 $y$ 与 $x$ 之间的相关系数为 $\hat{b}$ D、当 $x$ 增大一个单位时， $\hat{y}$ 增大 $\hat{b}$ 个单位

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10. 已知变量 $x$ 和变量 $y$ 的一组成对样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1,2, \dots, n)$ 的散点落在一条直线附近， $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}$ ， $\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} y_{i}$ ，相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - \bar{y})^{2}}}$ ，线性回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a} (\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}})$ ，则( )

A、当 $r$ 越大时，成对数据样本相关性越强 B、当 $r > 0$ 时， $\hat{b} > 0$ C、当 $x_{n + 1} = \bar{x}$ ， $y_{n + 1} = \bar{y}$ 时，成对样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1,2, \dots, n, n + 1)$ 的相关系数 $r^{'}$ 满足 $r^{'} = r$ D、当 $x_{n + 1} = \bar{x}$ ， $y_{n + 1} = \bar{y}$ 时，成对样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1,2, \dots, n, n + 1)$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{d} x + \hat{c}$ 满足 $\hat{d} = \hat{b}$

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三、填空题

11. 某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润，预测第8年该国企的生产利润约为千万元．
$(\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x})$
年号 $x$
1
2
3
4
5
年生产利润 $y$ （单位：千万元）
0.7
0.8
1
1.1
1.4

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四、解答题

12. 根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升.
将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为 $t$ ； $y$ 表示全国GDP总量，表中 $z_{i} = \ln y_{i} (i = 1, 2, 3, 4, 5)$ ， $\bar{z} = \frac{1}{5} \sum_{i = 1}^{5} z_{i}$ .
$\bar{t}$
$\bar{y}$
$\bar{z}$
$\sum_{i = 1}^{5} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{5} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})$
$\sum_{i = 1}^{5} (t_{i} - \bar{t}) (z_{i} - \bar{z})$
3
26.474
1.903
10
209.76
14.05
（1）根据数据及统计图表，判断 $\hat{y} = b t + a$ 与 $\hat{y} = c e^{d t}$ （其中 $e = 2.718 \dots$ 为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP总量 $y$ 关于 $t$ 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出 $y$ 关于 $t$ 的回归方程.
（2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP总量.
线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .
参考数据：
$n$
4
5
6
7
8
$e^{n}$ 的近似值
55
148
403
1097
2981

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年号 $x$	1	2	3	4	5
年生产利润 $y$ （单位：千万元）	0.7	0.8	1	1.1	1.4

$\bar{t}$	$\bar{y}$	$\bar{z}$	$\sum_{i = 1}^{5} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{5} (t_{i} - \bar{t}) (z_{i} - \bar{z})$
3	26.474	1.903	10	209.76	14.05

广告支出x/万元	2	5	8	11	15	19
利润y/万元	33	45	50	53	58	64

$n$	4	5	6	7	8
$e^{n}$ 的近似值	55	148	403	1097	2981

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二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

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