2025高考一轮复习（人教A版）第五十讲正态分布

试卷日期：2024-12-26 考试类型：一轮复习

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一、选择题

1. 某市共20000人参加一次物理测试，满分100分，学生的抽测成绩 $X$ 服从正态分布 $N (70, 10^{2})$ ，则抽测成绩在 $[80, 90]$ 内的学生人数大约为（）（若 $ξ \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - δ < ξ < μ + δ) = 0.6827, P (μ - 2 δ < ξ < μ + 2 δ) = 0.9545$ ）

A、6828 B、5436 C、4773 D、2718

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2. 若随机变量 $X \sim N (6, 1)$ ，且 $P (5 < X \leq 7) = a$ ， $P (4 < X \leq 8) = b$ ，则 $P (4 < X \leq 7)$ 等于（）

A、 $\frac{b - a}{2}$ B、 $\frac{b + a}{2}$ C、 $\frac{1 - b}{2}$ D、 $\frac{1 - a}{2}$

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3. 某网反随机选取了某自媒体平台10位自媒体人，得到其粉丝数据（单位：万人）： $1.7, 2.3, 1.9, 2.1, 2.2, 2.1, 1.9, 1.7, 2.2, 1.9$ ．若该平台自媒体人的粉丝数 $X \sim N (μ, σ^{2})$ （其中 $μ$ 和 $σ$ 分别为上述样本的平均数和标准差），根据上述数据，则下列说法中正确的个数是（）
（1）这10位自媒体人粉丝数据的平均数为2.0；
（2）这10位自媒体人粉丝数据的标准差为0.04；
（3）这10位自媒体人粉丝数据的第25百分位数为1.8；
（4）用样本估计总体，该平台自媒体人的粉丝数不超过2.2万的概率约为0.84135．
（附：若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545, P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 某种品牌摄像头的使用寿命(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为（）

A、0.2 B、0.25 C、0.4 D、0.8

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5. 某次数学联考成绩的数据分析，20000名考生成绩服从正态分布 $N (72, 8^{2})$ ，则80分以上的人数大约是（）

A、3173 B、6346 C、6827 D、13654

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6. 正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.假设随机变量 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，可以证明，对给定的 $k \in N^{*}, P (μ - k σ \leq X \leq μ + k σ)$ 是一个只与k有关的定值，部分结果如图所示：

通过对某次数学考试成绩进行统计分析，发现考生的成绩 $ξ$ 基本服从正态分布 $ξ ~ N (105, 10^{2})$ .若共有1000名考生参加这次考试，则考试成绩在 $(105, 125)$ 的考生人数大约为（）

A、341 B、477 C、498 D、683

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7. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ，且 $\frac{P (X < 3)}{P (X < 1)} = 4$ ，则 $P (2 < X < 3) =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{1}{3}$

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二、多项选择题

8. 已知随机变量 $X ~ N (1, σ^{2})$ ，记 $P (X > - 1) = a, P (1 < X < 3) = b$ ，则（）

A、 $P (X < 3) = a$ B、 $a - b = \frac{1}{2}$ C、 $E (2 X - 1) = 2 E (X)$ D、 $D (2 X - 1) = 4 D (X)$

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9. 已知变量 $X$ 服从正态分布 $X ∼ N (0, σ^{2})$ ，当 $σ$ 变大时，则（）

A、 $P (- \frac{1}{2} < X < \frac{1}{2})$ 变小 B、 $P (- \frac{1}{2} < X < \frac{1}{2})$ 变大 C、正态分布曲线的最高点下移 D、正态分布曲线的最高点上移

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10. 下列论述正确的有（）

A、若 $A, B$ 两组成对数据的样本相关系数分别为 $r_{A} = 0.97, r_{B} = - 0.99$ ，则 $A$ 组数据比 $B$ 组数据的相关性较强 B、数据 $49, 21, 32, 29, 38, 65, 30, 50$ 的第60百分位数为38 C、若随机变量 $X \sim N (7, σ^{2})$ ，且 $P (X > 9) = 0.12$ ，则 $P (5 < X < 7) = 0.38$ D、若样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{6}$ 的方差为1，则数据 $2 x_{1} - 1, 2 x_{2} - 1, \dots, 2 x_{6} - 1$ 的方差为4

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11. 已知随机变是 $X$ 服从正态分布 $N (0, 1)$ ，定义函数 $f (x)$ 为 $X$ 取值不超过 $x$ 的概率，即 $f (x) = P (X \leq x)$ ，若 $x \geq 0$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $f (0) = \frac{1}{2}$ B、 $f (2 x) = 2 f (x)$ C、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是增函数 D、 $P (|X| \leq x) = 2 f (x) - 1$

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三、填空题

12. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3, σ^{2})$ ，若 $P (X > 8) = 0.2$ ，则 $P (- 2 \leq X \leq 3) =$ .

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13. 已知随机变量 $X \sim N (μ, σ^{2}), Y \sim B (6, p)$ ，且 $P (X \geq 3) = \frac{1}{2}, E (X) = E (Y)$ ，则 $p =$ ．

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14. 某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为： $f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{{(x - 85)}^{2}}{2 σ^{2}}}$ ，且 $P (70 \leq X \leq 100) = 0.7$ ，若参加此次联考的学生共有8000人，则数学成绩超过100分的人数大约为．

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15. 若随机变量 $ξ$ 的数学期望和方差分别为 $E (ξ)$ ， $D (ξ)$ ，则对于任意 $ε > 0$ ，不等式 $P (|ξ - E (ξ)| \geq ε) \leq \frac{D (ξ)}{ε^{2}}$ 成立 $.$ 在 $2023$ 年湖南省高三九校联考中，数学科考试满分 $150$ 分，某校高三共有 $500$ 名学生参加考试，全体学生的成绩 $ξ \sim N (80, 4^{2})$ ，则根据上述不等式，可估计分数不低于 $100$ 分的学生不超过人 $.$

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四、解答题

16. 某校拟对全校学生进行体能检测，并规定：学生体能检测成绩不低于60分为合格，否则为不合格；若全年级不合格人数不超过总人数的 $5 %$ ，则该年级体能检测达标，否则该年级体能检测不达标，需加强锻炼．

(1)、为准备体能检测，甲、乙两位同学计划每天开展一轮羽毛球比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用七局四胜制（一方获胜四局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，求甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下，前3局比赛均获胜的概率；

(2)、经过一段时间的体能训练后，该校进行了体能检测，并从高二年级1000名学生中随机抽取了40名学生的成绩作分析．将这40名学生体能检测的平均成绩记为 $μ$ ，标准差记为 $σ$ ，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ．已知 $μ = 74$ ， $σ = 7$ ，请估计该校高二年级学生体能检测是否合格？
附：若随机变量 $ξ ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < ξ \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < ξ \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

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17. 某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在[70，80）内的学生获三等奖，得分在[80，90）内的学生获二等奖，得分在[90，100]内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示.
若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，其中 $σ \approx 15, μ$ 为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：

(1)、若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；

(2)、若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为 $ξ$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列和均值.
附：若随机变量X服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) \approx 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9974$ .

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18. 在七一“建党节”来临之际，某省教育系统开展以“争知识标兵，做奋斗先锋”为主题的法规知识竞赛活动.为了了解本次竞赛成绩情况，从参与者中随机抽取容量为100的样本数据（满分为100分），均在区间 $[50, 100]$ 内，将样本数据按 $[50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100]$ 的分组作出频率分布直方图如图所示.
参考数据：若 $X \sim N (μ, σ^{2}) (σ > 0)$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827, P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$

(1)、求 $a$ 的值，并估计抽取的100位参与者得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、若本次活动共有5000人参加，用样本平均值估计总体平均值 $μ$ .假设所有参与者得分 $X \sim N (μ, 100)$ ，试估计得分在 $[65, 95]$ 上的人数.

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19. 面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节 $.$ 某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答 $3$ 个问题，第一题考查对公司的了解，答对得 $2$ 分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得 $4$ 分，答错不得分．
附：若 $X \sim N (μ, σ^{2}) (σ > 0)$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) \approx 0.683$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) \approx 0.954$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) \approx 0.997$ ．

(1)、若一共有 $100$ 人应聘，他们的笔试得分 $X$ 服从正态分布 $N (60,144)$ ，规定 $X ⩾ 72$ 为达标，求进入面试环节的人数大约为多少 $($ 结果四舍五入保留整数 $)$ ；

(2)、某进入面试的应聘者第一题答对的概率为 $\frac{2}{3}$ ，后两题答对的概率均为 $\frac{4}{5}$ ，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩 $Y$ 的分布列和数学期望．

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2025高考一轮复习（人教A版）第五十讲 正态分布

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