2025高考一轮复习（人教A版）第四十九讲二项分布与超几何分布

试卷日期：2024-12-26 考试类型：一轮复习

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一、选择题

1. 设随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (n, \frac{4}{5})$ ，若 $P (X ⩾ 1) = 0.9984$ ，则 $D (X) =$ （）

A、0.16 B、0.32 C、0.64 D、0.84

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2. 2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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3. 已知离散型随机变量X 服从二项分布X~B(n，p)，且E(X)=4，D(X)=q，则 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q}$ 的最小值为( )

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、4

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4. 在数学试卷的单项选择题中，共有8道题，每道题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率是0.25.某同学8道单选题都不会做，只能在每道单选题的选项中随机选择一个作为答案，设他的总得分为 $X$ ，则 $X$ 的方差 $D (X) =$ （）

A、1.5 B、7.5 C、20.5 D、37.5

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5. 泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛的应用，泊松分布的概率分布列为 $P (x = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ} (k = 0, 1, 2, \dots)$ ，其中e为自然对数的底数， $λ$ 是泊松分布的均值．当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中 $λ = n p$ ．一般地，当 $n \geq 20$ 而 $p \leq 0.05$ 时，泊松分布可作为二项分布的近似．若随机变量 $X ~ B (1000, 0.001)$ ， $P (X \geq 2)$ 的近似值为（）

A、 $1 - \frac{1}{e}$ B、 $1 - \frac{2}{e}$ C、 $1 - \frac{e}{4}$ D、 $1 - \frac{1}{e^{2}}$

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6. 下列说法中正确的是（）
①设随机变量 $X \sim B (8, \frac{1}{2})$ ，则 $E (X) = 4$ ；
②甲､乙､丙､丁四人到4个景点游玩，每人只去一个景点，设事件 $A =$ “4个人去的景点互不相同”，事件 $B =$ “甲独自去一个景点”，则 $P (A ∣ B) = \frac{2}{9}$ ；
③已知变量 $X, Y, Y = 2 X + 1, E (X) = 2, D (X) = 1$ ，则 $E (Y) = 5, D (Y) = 4$ .

A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

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7. 已知随机变量 $X_{1}$ ， $X_{2}$ 分别满足二项分布 $X_{1} ~ B (n_{1}, \frac{1}{3})$ ， $X_{2} ~ B (n_{2}, \frac{1}{3})$ ，则“ $n_{1} > n_{2}$ ”是“ $D (X_{1}) > D (X_{2})$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 设随机变量 $X ~ B (n ， p)$ ，若二项式 $(x + p)^{n} = a_{0} + \frac{1}{2} x + \frac{3}{2} x^{2} + ⋯ + a_{n} x^{n}$ ，则（）

A、 $E (x) = 3$ ， $D (x) = 2$ B、 $E (x) = 4$ ， $D (x) = 2$ C、 $E (x) = 2$ ， $D (x) = 1$ D、 $E (x) = 3$ ， $D (x) = 1$

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二、多项选择题

9. 某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为 $14$ 、 $21$ 、 $14$ ，现采用分层抽样的方法从中抽取 $7$ 人，进行某项兴趣调查．已知抽出的 $7$ 人中有 $5$ 人对此感兴趣，有 $2$ 人不感兴趣，现从这 $7$ 人中随机抽取 $3$ 人做进一步的深入访谈，用 $X$ 表示抽取的 $3$ 人中感兴趣的学生人数，则（）

A、从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为 $2$ 人、 $3$ 人、 $2$ 人 B、随机变量 $X \sim B (7, \frac{5}{7})$ C、随机变量 $X$ 的数学期望为 $\frac{15}{7}$ D、若事件 $A =$ “抽取的3人都感兴趣”，则 $P (A) = \frac{2}{7}$

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10. 已知随机变量 $X$ 满足： $X \sim B (4, p), 0 < p < 1, E (X) = \frac{3}{2} D (X)$ ，则（）

A、 $p = \frac{2}{3}$ B、 $E (X) = \frac{4}{3}$ C、 $E (2 X + 1) = \frac{11}{3}$ D、 $D (2 X + 1) = \frac{32}{9}$

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11. 下列选项中正确的是（）

A、已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (10, \frac{1}{2})$ ，则 $D (2 X) = 5$ B、口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量 $X$ ，则 $X$ 的数学期望 $E (X) = \frac{7}{5}$ C、对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，从中任取2件，已知其中一件为正品，则另一件也为正品的概率是 $\frac{5}{13}$ D、某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是7次

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12. 下列说法正确的是（）

A、两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是 $\frac{1}{2}$ B、已知随机变量 $X ~ B (n, p)$ ，若 $E (X) = 30, D (X) = 10$ ，则 $p = \frac{1}{3}$ C、已知 $A_{n}^{2} = C_{n}^{3}$ ，则 $n = 8$ D、从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为 $\frac{45}{91}$

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三、填空题

13. 某学校有 $A$ ， $B$ 两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择 $A$ 餐厅和选择 $B$ 餐的概率均为 $\frac{1}{2}$ .如果第1天去 $A$ 餐厅，那么第2天去 $A$ 餐厅的概率为 $\frac{3}{5}$ ；如果第1天去 $B$ 餐厅，那么第2天去 $A$ 餐厅的概率为 $\frac{4}{5}$ ，则某同学第2天去 $A$ 餐厅用餐的概率为；假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量 $X$ 为该班3名同学中第2天选择 $B$ 餐厅的人数，则随机变量 $X$ 的均值 $E (X) =$ .

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14. 设随机变量 $X ~ B (2, p)$ ，且 $P (X = 0) = \frac{1}{16}$ ，则 $p =$ ；若 $Y = 2 X - 1$ ，则 $Y$ 的方差为．

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15. 设随机变量 $X ~ B (12, p)$ ，若 $E (X) \leq 4$ ，则 $D (X)$ 的最大值为．

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四、解答题

16. 某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的率为 $\frac{2}{5}$ ，高一年级胜高三年级的概率为 $\frac{1}{3}$ ，且每轮对抗赛的成绩互不影响.

(1)、若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率；

(2)、若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数X的分布列与数学期望.

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17. 夏季濒临，在某校举办的篮球挑战杯上，篮球队员们向台下的观众展现出了一场酣畅淋漓的比赛．假定在本次挑战杯上同学甲每次投篮命中的概率为 $\frac{2}{3}$ ．

(1)、若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率；

(2)、若该同学在每一节比赛中连续投中2次，即停止投篮，否则他将继续投篮，投篮4次后不管有没有连续投中，都将停止投篮，求他在每一节比赛中投篮次数X的概率分布列及数学期望．

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18. 某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类知识的兴趣，举行了一次知识竞赛（三类题目知识题量占比分别为 $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{4}$ ）.甲回答这三类问题中每道题的正确率分别为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{2}{3}$ .

(1)、若甲在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率.

(2)、知识竞赛规则：随机从题库中抽取2n道题目，答对题目数不少于n道，即可以获得奖励.若以获得奖励的概率为依据，甲在 $n = 5$ 和 $n = 6$ 之中选其一，则应选择哪个？

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19. 某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分 $A$ ， $B$ ， $C$ 三大类，其中 $A$ 类有 $3$ 个项目，每项需花费 $2$ 小时， $B$ 类有 $3$ 个项目，每项需花费 $3$ 小时， $C$ 类有 $2$ 个项目，每项需花费 $1$ 小时．要求每位员工从中随机选择 $3$ 个项目，每个项目的选择机会均等．

(1)、求小张在三类中各选 $1$ 个项目的概率；

(2)、设小张所选 $3$ 个项目花费的总时间为 $X$ 小时，求 $X$ 的分布列．

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2025高考一轮复习（人教A版）第四十九讲 二项分布与超几何分布

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