2025高考一轮复习（人教A版）第四十八讲离散型随机变量及其分布列、数字特征

试卷日期：2024-12-26 考试类型：一轮复习

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一、选择题

1. 已知随机变量 $X$ 的概率分布如表则 $E (5 X + 4) =$ （）
$X$
1
2
4
$P$
$0.4$
$a$
$0.3$

A、1 B、 $2.2$ C、11 D、15

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2. 2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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3. 设随机变量 $X$ 的概率分布列为
$X$
1
2
3
4
$P$
$\frac{1}{3}$
$m$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{6}$
则 $P (| X - 3 | = 1) =$ （）

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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4. 已知随机变量X的分布列如下表所示，设 $Y = 3 X - 2$ ，则 $D (Y) =$ （）
X
$- 1$
0
1
P
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}$
n

A、5 B、 $\frac{5}{9}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- 3$

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5. 甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是 $p$ ，随机变量 $X$ 表示最终的比赛局数，若 $X$ 的数学期望为 $\frac{22}{9}$ ，则 $p =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$ 或 $\frac{2}{3}$

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6. 若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品（单位：件）均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为（）

A、1.2 B、2.4 C、2.88 D、4.8

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7. 一个不透明的袋子中装有3个黑球，n个白球 $(n \in N^{*})$ ，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为 $\frac{9}{20}$ ，设X为取出白球的个数，则 $E (X) =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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8. 高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为 $X$ ，则随机变量 $X$ 的期望与方差分别为（）

A、 $2, \frac{1}{2}$ B、 $2, 1$ C、 $3, 1$ D、 $3, \frac{1}{2}$

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二、多项选择题

9. 某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为 $14$ 、 $21$ 、 $14$ ，现采用分层抽样的方法从中抽取 $7$ 人，进行某项兴趣调查．已知抽出的 $7$ 人中有 $5$ 人对此感兴趣，有 $2$ 人不感兴趣，现从这 $7$ 人中随机抽取 $3$ 人做进一步的深入访谈，用 $X$ 表示抽取的 $3$ 人中感兴趣的学生人数，则（）

A、从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为 $2$ 人、 $3$ 人、 $2$ 人 B、随机变量 $X \sim B (7, \frac{5}{7})$ C、随机变量 $X$ 的数学期望为 $\frac{15}{7}$ D、若事件 $A =$ “抽取的3人都感兴趣”，则 $P (A) = \frac{2}{7}$

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10. 已知离散型随机变量 $X$ 的分布列如下表所示：
$X$
0
1
2
$P$
$q^{2}$
$0.5 - q$
$0.74$
则下列选项中正确的是（）

A、 $q = 0.6$ B、 $q = 0.4$ C、 $E (X) = 1.58$ D、 $D (X) = 0.5636$

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11. 2024年6月嘉兴市普通高中期末检测的数学试卷采用新结构，其中多选题计分标准如下：①每小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；②部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）.若每道多选题有两个或三个正确选项等可能，在完成某道多选题时，甲同学在选定了一个正确选项后又在余下的三个选项中随机选择1个选项，乙同学在排除了一个错误选项后又在余下的三个选项中随机选择2个选项，甲､乙两位同学的得分分别记为 $X$ 和 $Y$ ，则（）

A、 $P (X = 0) > P (Y = 0)$ B、 $P (X = 6) > P (Y = 6)$ C、 $E (X) > E (Y)$ D、 $D (X) > D (Y)$

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三、填空题

12. 条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念，近年来，条件概率和条件期望已被广泛的应用到日常生产生活中.定义：设 $X$ ， $Y$ 是离散型随机变量，则 $X$ 在给定事件 $Y = y$ 条件下的期望为 $E (X |Y = y) =$ $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot P (X = x_{i} |Y = y)$ $= \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot \frac{P (X = x_{i} ， Y = y)}{P (T = y)}$ ，其中 $\{x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}\}$ 为 $X$ 的所有可能取值集合， $P (X = x, Y = y)$ 表示事件“ $X = x$ ”与事件“ $Y = y$ ”都发生的概率.某商场进行促销活动，凡在该商场每消费500元，可有2次抽奖机会，每次获奖的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ，某人在该商场消费了1000元，共获得4次抽奖机会.设 $ξ$ 表示第一次抽中奖品时的抽取次数， $η$ 表示第二次抽中奖品时的抽取次数.则 $E (ξ |η = 4) =$ .

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13. 已知离散型随机变量X的分布列为
$X$
-1
0
1
$P$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{6}$
a
设 $Y = 6 X + 1$ ，则Y的数学期望 $E (Y) =$ ．

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14. 为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数 $X$ 的数学期望为.

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15. 已知病毒A在某溶液中的存活个数（k）的概率满足 $P (X = k) = \frac{3^{k}}{k!} e^{- 3}$ （k＝0，1，2，⋯），已知只要该溶液中存在一个A病毒，就可以导致生物C死亡，则该溶液能够导致生物C死亡的概率为．

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四、解答题

16. 甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分；然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为 $\frac{4}{5}$ ，乙答对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为 $\frac{2}{5}$ .记甲乙两人的答题总次数为 $n (n \geq 2)$ .

(1)、求p；

(2)、当 $n = 2$ 时，求甲得分X的分布列及数学期望；

(3)、若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为 $P_{n} (A)$ ，证明： $\frac{8}{15} \leq P_{2} (A) + P_{3} (A) + \cdot \cdot \cdot + P_{n} (A) < \frac{8}{9}$ .

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17. 学校教学楼的每两层楼之间的上下楼梯有 $15$ 个台阶，从下至上记台阶所在位置为 $1 - 15$ ，同学甲在上楼的过程中，每一步等可能地跨 $1$ 或 $2$ 个台阶（位置 $+ 1$ 或 $+ 2$ ）.

(1)、记甲迈 $3$ 步后所在的位置为 $X$ ，写出 $X$ 的分布列和期望值.

(2)、求甲 $6$ 步内到过位置 $8$ 的概率；

(3)、求 $10$ 步之内同时到过位置 $10$ 和 $12$ 的有多少种走法，及发生的概率.

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18. 2024年，“网红”城市哈尔滨吸引了大量游客前来旅游，著名景点有冰雪大世界和亚布力滑雪场．当地为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来哈尔滨的游客进行了问卷调查，据统计，其中 $\frac{1}{4}$ 的人计划只参观冰雪大世界，另外 $\frac{3}{4}$ 的人计划既参观冰雪大世界又游玩亚布力滑雪场．每位游客若只参观冰雪大世界，则发1个纪念币；若既参观冰雪大世界又游玩亚布力滑雪场，则发2个纪念币．假设每位首次来哈尔滨的游客计划是否游玩冰雪大世界和亚布力滑雪场互不影响，视频率为概率．

(1)、从游客中随机抽取4人，记这4人合计的纪念币的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、从游客中随机抽取 $n$ 人（ $n \in N^{*}$ ），记这 $n$ 人合计纪念币的个数恰为 $n + 1$ 的概率为 $P_{n}$ ，求 $P_{1} + P_{2} + \dots + P_{n}$ .

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19. 传球是排球运动中最基本､最重要的一项技术．传球是由准备姿势､迎球､击球､手型､用力5个动作部分组成．其中较难掌握的是触球时的手型，因为触球时手型正确与否直接影响手控制球的能力和传球的准确性，对初学者来说掌握了正确手型才能保证正确击球点和较好的运用手指，手腕的弹力．从小张､小胡､小郭､小李､小陈这5人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．

(1)、记小胡､小李､小陈这三人中被抽到的人数为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列；

(2)、若刚好抽到小胡､小李､小陈三个人相互做传球训练，且第1次由小胡将球传出，记 $n$ 次传球后球在小胡手中的概率为 $p_{n}, n = 1, 2, 3, \dots$ ．
①直接写出 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ 的值；
②求 $p_{n + 1}$ 与 $p_{n}$ 的关系式 $(n \in N^{*})$ ，并求 $p_{n} (n \in N^{*})$ ．

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$X$	1	2	4
$P$	$0.4$	$a$	$0.3$

$X$	1	2	3	4
$P$	$\frac{1}{3}$	$m$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{6}$

X	$- 1$	0	1
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	n

$X$	0	1	2
$P$	$q^{2}$	$0.5 - q$	$0.74$

2025高考一轮复习（人教A版）第四十八讲 离散型随机变量及其分布列、数字特征

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二、多项选择题

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