2025高考一轮复习（人教A版）第四十七讲条件概率与全概率公式

试卷日期：2024-12-26 考试类型：一轮复习

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一、选择题

1. 已知某条线路上有 $A, B$ 两辆相邻班次的 $BRT$ （快速公交车），若 $A$ 准点到站的概率为 $\frac{1}{3}$ ，在B准点到站的前提下 $A$ 准点到站的概率为 $\frac{3}{4}$ ，在 $A$ 准点到站的前提下B不准点到站的概率为 $\frac{7}{16}$ ，则B准点到站的概率为（）

A、 $\frac{5}{16}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{16}$ D、 $\frac{3}{8}$

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2. 已知三家公司同时生产某一产品，它们的市场占有率分别为20%，30%，50%，且对应的次品率为1%，2%，3%，则该产品的次品率为（）

A、2.3% B、3.3% C、1.3% D、3%

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3. 设甲袋中有3个红球和4个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，记事件A=“从甲袋中任取1球是红球”，事件B=“从乙袋中任取2球全是白球”，则下列说法正确的是（）

A、 $P (B) = \frac{9}{14}$ B、 $P (A B) = \frac{6}{7}$ C、 $P (A| B) = \frac{1}{5}$ D、事件A与事件B相互独立

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4. 质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”．如3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过20的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件 $A =$ “这两个数都是素数”，事件 $B =$ “这两个数不是孪生素数”，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{6}{7}$ B、 $\frac{1}{7}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{8}{9}$

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5. 袋中有5个白球，4个黑球，从中依次不放回取球，当取出三个相同颜色的球时停止取球，记X为取出球的总数，则 $X = 4$ 的概率为（）

A、 $\frac{5}{14}$ B、 $\frac{5}{7}$ C、 $\frac{5}{42}$ D、 $\frac{5}{21}$

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6. 有两台车床加工同一型号零件，第1台加工的次品率为 $4 %$ ，第2台加工的次品率为 $5 %$ ，将两台车床加工出来的零件混放在一起，已知第1台，第2台车床加工的零件占比分别为 $40 %$ ， $60 %$ ，现任取一件零件，则它是次品的概率为（）

A、0.044 B、0.046 C、0.050 D、0.090

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7. 设 $A$ ， $B$ 是一个随机试验中的两个事件，且 $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{3}{4}$ ， $P (A + \bar{B}) = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $P (B |A) = \frac{1}{4}$ B、 $P (A \bar{B}) = \frac{1}{6}$ C、 $P (\bar{B}) = P (\bar{B} |A)$ D、 $P (A \bar{B} + \bar{A} B) = \frac{5}{12}$

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二、多项选择题

8. 中国象棋是一种益智游戏，也体现博大精深的中国文化.某学校举办了一次象棋比赛，李明作为选手参加.除李明之外的其他选手中，甲、乙两组的人数之比为 $2 : 1$ ，李明与甲、乙两组选手比赛获胜的概率分别为0.6，0.5.从甲、乙两组参赛选手中随机抽取一位棋手与李明比赛，下列说法正确的是（）

A、李明与甲组选手比赛且获胜的概率为 $\frac{2}{5}$ B、李明获胜的概率为 $\frac{17}{30}$ C、若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为 $\frac{12}{17}$ D、若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为 $\frac{6}{17}$

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9. 设A，B为随机事件，且 $P (A)$ ， $P (B)$ 是A，B发生的概率． $P (A), P (B) \in (0, 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若A，B互斥，则 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ B、若 $P (A B) = P (A) P (B)$ ，则A，B相互独立 C、若A，B互斥，则A，B相互独立 D、 $\frac{P (\bar{A}| B)}{P (A| B)} \cdot \frac{P (\bar{B}| \bar{A})}{P (B| \bar{A})}$ 与 $\frac{P (\bar{B}| A)}{P (B| A)} \cdot \frac{P (\bar{A}| \bar{B})}{P (A| \bar{B})}$ 相等

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10. 下列选项中正确的是（）

A、已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (10, \frac{1}{2})$ ，则 $D (2 X) = 5$ B、口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量 $X$ ，则 $X$ 的数学期望 $E (X) = \frac{7}{5}$ C、对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，从中任取2件，已知其中一件为正品，则另一件也为正品的概率是 $\frac{5}{13}$ D、某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是7次

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11. 已知随机事件A，B满足 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{1}{3}$ ，则下列说法正确的是（）．

A、若A与B相互独立，则 $P (A B) = \frac{1}{6}$ B、若A与B互斥，则 $P (\bar{A} B) = \frac{1}{6}$ C、若 $P (A B) = \frac{1}{4}$ ，则 $P (B |A) = \frac{1}{2}$ D、若随机事件C满足 $P (C |A) = \frac{4}{5}$ ， $P (C |\bar{A}) = \frac{3}{5}$ ，则 $P (A |C) = \frac{4}{7}$

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三、填空题

12. 已知甲同学在上学途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲同学在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是.

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13. 在概率论中，全概率公式指的是：设 $Ω$ 为样本空间，若事件 $A_{1}, A_{2}, \cdot \cdot \cdot, A_{n}$ 两两互斥， $A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n} = Ω$ ，则对任意的事件 $B \subseteq Ω$ ，有 $P (B) = P (A_{1}) P (B | A_{1}) + P (A_{2}) P (B | A_{2}) + \dots + P (A_{n}) P (B | A_{n})$ ．若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有 $x$ 个白球 $(x \in N)$ 、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于 $\frac{5}{12}$ ，则 $x$ 的最大值为．

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14. 现有甲、乙两个盒子，甲盒有2个红球和1个白球，乙盒有1个红球和1个白球.先从甲盒中取出2个球放入乙盒，再从乙盒中取出2个球放入甲盒.记事件A为“从甲盒中取出2个红球”，事件B为“乙盒还剩1个红球和1个白球”，则 $P (B | A) =$ ， $P (\bar{A} \bar{B}) =$ .

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四、解答题

15. 甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分；然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为 $\frac{4}{5}$ ，乙答对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为 $\frac{2}{5}$ .记甲乙两人的答题总次数为 $n (n \geq 2)$ .

(1)、求p；

(2)、当 $n = 2$ 时，求甲得分X的分布列及数学期望；

(3)、若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为 $P_{n} (A)$ ，证明： $\frac{8}{15} \leq P_{2} (A) + P_{3} (A) + \cdot \cdot \cdot + P_{n} (A) < \frac{8}{9}$ .

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16. 某红茶批发地只经营甲､乙､丙三种品牌的红茶，且甲､乙､丙三种品牌的红茶优质率分别为 $0.9, 0.8, 0.7$ .

(1)、若该红茶批发地甲､乙､丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为 $4 : 4 : 2$ ，小张到该批发地任意购买一盒红茶，求他买到的红茶是优质品的概率；

(2)、若小张到该批发地甲､乙､丙三种品牌店各任意买一盒红茶，求他恰好买到两盒优质红茶的概率.

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17. 学校教学楼的每两层楼之间的上下楼梯有 $15$ 个台阶，从下至上记台阶所在位置为 $1 - 15$ ，同学甲在上楼的过程中，每一步等可能地跨 $1$ 或 $2$ 个台阶（位置 $+ 1$ 或 $+ 2$ ）.

(1)、记甲迈 $3$ 步后所在的位置为 $X$ ，写出 $X$ 的分布列和期望值.

(2)、求甲 $6$ 步内到过位置 $8$ 的概率；

(3)、求 $10$ 步之内同时到过位置 $10$ 和 $12$ 的有多少种走法，及发生的概率.

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18. 某学校食堂有 $A, B$ 两家餐厅，张同学第1天选择 $A$ 餐厅用餐的概率为 $\frac{1}{3}$ ．从第2天起，如果前一天选择 $A$ 餐厅用餐，那么次日选择 $A$ 餐厅用餐的概率为 $\frac{3}{4}$ ；如果前一天选择 $B$ 餐厅用餐，那么次日选择 $A$ 餐厅用餐的概率为 $\frac{1}{2}$ ．设他第 $n$ 天选择 $A$ 餐厅用餐的概率为 $P_{n}$ ．

(1)、求 $P_{2}$ 的值及 $P_{n + 1}$ 关于 $P_{n}$ 的表达式；

(2)、证明数列 $\{P_{n} - \frac{2}{3}\}$ 是等比数列，并求出 $\{P_{n}\}$ 的通项公式．

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2025高考一轮复习（人教A版）第四十七讲 条件概率与全概率公式

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三、填空题

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