2025高考一轮复习（人教A版）第三十三讲圆的方程

试卷日期：2024-12-23 考试类型：一轮复习

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一、选择题

1. 圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 1 = 0$ 的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为（　　）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4$

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2. 已知点 $M (2, 0), N (6, 4)$ ，则以 $M N$ 为直径的圆的方程为（）

A、 ${(x + 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16$ B、 ${(x - 4)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 8$ C、 ${(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16$ D、 ${(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 8$

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3. 直线 $a x + b y - 1 = 0 (a > 0, b > 0)$ 等分圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 的周长，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为（）

A、9 B、4 C、6 D、18

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4. 已知圆 $M$ 经过 $P (1, 1), Q (2, - 2)$ 两点，且圆心 $M$ 在直线 $l : x - y + 1 = 0$ ，则圆 $M$ 的标准方程是（）

A、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 5$ B、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 13$ C、 ${(x + 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$ D、 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$

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5. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (0, 1)$ ， $B (0, 4)$ .若直线 $2 x - y + c = 0$ 上存在点 $P$ ，使得 $P B = 2 P A$ ，则实数 $c$ 的取值范围是（）

A、 $(- \sqrt{5}, \sqrt{5})$ B、 $[- \sqrt{5}, \sqrt{5}]$ C、 $(- 2 \sqrt{5}, 2 \sqrt{5})$ D、 $[- 2 \sqrt{5}, 2 \sqrt{5}]$

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6. 求以 $A (1, - 1)$ 为圆心，且经过点 $B (0,1)$ 的圆的一般方程( )

A、 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 7 = 0$ B、 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y - 7 = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y - 3 = 0$ D、 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y + 3 = 0$

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7. $P$ 是圆 $C : (x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 2$ 上的动点，则点 $P$ 到直线 $l : \sqrt{3} y - k x - \sqrt{3} + k = 0$ 的距离最大值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 + \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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二、多项选择题

8. 已知方程 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + a = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、方程表示圆，且圆的半径为1时， $a = 4$ B、当 $a = 5$ 时，方程表示圆心为 $(1, - 2)$ 的圆 C、当 $a = 0$ 时，方程表示圆且圆的半径为 $\sqrt{5}$ D、当 $a < 5$ 时，方程表示圆心为 $(1, - 2)$ 的圆

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9. 加斯帕尔·蒙日（如图甲）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图乙）．已知长方形R的四边均与椭圆 $C : \frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 相切，则下列说法正确的是（）

A、椭圆C的离心率为 $e = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、椭圆C的蒙日圆方程为 $x^{2} + y^{2} = 6$ C、椭圆C的蒙日圆方程为 $x^{2} + y^{2} = 9$ D、长方形R的面积最大值为18

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10. 设点 $P (x, y)$ 为圆 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ 上一点，已知点 $A (4, 0)$ ， $B (5, 0)$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $x + y$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ B、 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y$ 的最小值为 $- 8$ C、存在点 $P$ 使 $|P B| = \sqrt{2} |P A|$ D、过 $A$ 点作圆 $C$ 的切线，则切线长为 $\sqrt{15}$

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11. 已知 $M$ ， $N$ 为圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上的两个动点，点 $P (- 1, 1)$ ，且 $P M ⊥ P N$ ，则（）

A、 ${| P M |}_{m a x} = 2 + \sqrt{2}$ B、 ${| M N |}_{m a x} = 2 \sqrt{2 + \sqrt{3}}$ C、 $△ P M N$ 外接圆圆心的轨迹方程为 ${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{3}{2}$ D、 $△ P M N$ 重心的轨迹方程为 ${(x + \frac{5}{6})}^{2} + {(y - \frac{5}{6})}^{2} = \frac{1}{6}$

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三、填空题

12. 已知 $△ A B C$ 的顶点是 $A (5, 1)$ ， $B (7, - 3)$ ， $C (1, - 1)$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的方程是．

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13. 曲线 $x^{2} + y^{2} = 2 |x| + 2 |y|$ 围成的图形的周长为，面积为．

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14. 圆 $x^{2} + y^{2} + a x +2 a y +2 a^{2} + a −1=0$ 的半径的最大值为.

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四、解答题

15. 已知圆C过点 $A (4, 2)$ 和点 $B (0, 6)$ .并且圆心在直线 $y - 2 = 0$ 上，点 $P (4, 8)$ ，过点P作圆C的切线l.

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、求切线l的方程.

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16. 已知定点 $A (3, 1)$ 和直线 $l : x + y = 0$ ，动圆 $C$ 和直线 $l$ 相切，且过点 $A$ 作圆 $C$ 的切线，切线长等于动圆 $C$ 的半径．

(1)、求圆 $C$ 的圆心的轨迹方程．

(2)、当圆 $C$ 的面积最小时，求圆 $C$ 的方程．

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17. 已知圆 $C$ 的圆心在坐标原点，且过点 $M (1, \sqrt{3})$ ．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 经过点 $M (1, \sqrt{3})$ 且与圆 $C$ 相切，求直线 $l$ 的方程．

(3)、已知点 $P$ 是圆 $C$ 上的动点，试求点 $P$ 到直线 $x + y - 4 = 0$ 的距离的最大值．

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18. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 16$ 分别与 $x$ 、 $y$ 轴正半轴交于 $A$ 、 $B$ 两点， $P$ 为圆 $C$ 上的动点．

(1)、若线段 $A P$ 上有一点 $Q$ ，满足 $\vec{A Q} = 2 \vec{Q P}$ ，求点 $Q$ 的轨迹方程；

(2)、过点 $(3, 4)$ 的直线 $m$ 截圆 $C$ 所得弦长为 $2 \sqrt{7}$ ，求直线 $m$ 的方程；

(3)、若 $P$ 为圆 $C$ 上异于 $A, B$ 的动点，直线 $A P$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ ，直线 $B P$ 与 $x$ 轴交于点 $N$ ，求证： $|A N| \cdot |B M|$ 为定值．

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三、填空题

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