2025高考一轮复习（人教A版）第二十七讲空间向量及其运算

试卷日期：2024-12-22 考试类型：一轮复习

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一、选择题

1. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是边长为1的菱形，且 $∠ A D C = 120 °, P D = A D$ ，则（）

A、 $(\vec{D A} + \vec{D C}) \cdot \vec{D P} = 1$ B、 $(\vec{D P} + \vec{D B}) \cdot \vec{A D} = \frac{1}{2}$ C、 $\vec{C P} \cdot \vec{P A} = - \frac{1}{2}$ D、 $\vec{D C} \cdot \vec{B P} = \frac{1}{2}$

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2. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2, B B_{1} = 3$ ，则 $\vec{A B_{1}} \cdot \vec{A C} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 在空间四边形 $A B C D$ 中，下列表达式化简结果与 $\vec{A B}$ 相等的是（）

A、 $\vec{A C} + \vec{C D}$ B、 $\vec{A C} + \vec{B C}$ C、 $\vec{D C} + \vec{C B} - \vec{D A}$ D、 $\vec{A C} + \vec{B D} - \vec{B C}$

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4. 如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且 $G N = 2 M G$ ，现用向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 表示向量 $\vec{O G}$ ，设 $\vec{O G} =$ $x \vec{O A} + y$ $\vec{O B} + z$ $\vec{O C}$ ，则x，y，z的值分别为（）

A、 $x = \frac{1}{3}, y = \frac{1}{3}, z = \frac{1}{3}$ B、 $x = \frac{1}{3}, y = \frac{1}{3}, z = \frac{1}{6}$ C、 $x = \frac{1}{3}, y = \frac{1}{6}, z = \frac{1}{6}$ D、 $x = \frac{1}{6}, y = \frac{1}{3}, z = \frac{1}{3}$

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5. 如图，平行六面体各棱长为 $1$ ，且 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ B A D = 60^{\circ}$ ，动点 $P$ 在该几何体内部，且满足 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + (1 - x - y) \vec{A A_{1}} (x, y \in R)$ ，则 $| \vec{A P} |$ 的最小值为( )

A、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、多项选择题

6. 三棱锥 $A - B C D$ 中， $\vec{A B} \cdot \vec{B D} = \vec{C D} \cdot \vec{B D} = 0$ ， $A B = 3$ ， $B D = 2$ ， $C D = 4$ ，平面 $A B D$ 与平面 $B C D$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $A C$ 的长度可以为（）

A、5 B、 $\sqrt{17}$ C、 $\sqrt{41}$ D、6

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7. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，能作为空间的一个基底的一组向量有（）

A、 $\vec{A A_{1}}$ ， $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ B、 $\vec{B A}$ ， $\vec{B C}$ ， $\vec{B D}$ C、 $\vec{A C_{1}}$ ， $\vec{B D_{1}}$ ， $\vec{C B_{1}}$ D、 $\vec{A D_{1}}$ ， $\vec{B A_{1}}$ ， $\vec{A C}$

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三、填空题

8. 已知 $A (1, 0, 0)$ ， $B (2, - 1, 1)$ ，若B关于平面 $x O z$ 的对称点为C，则 $|\vec{A C}| =$ ．

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9. 光丘楼亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上下底面边长之比约为 $\frac{9}{10}$ ，则 $\vec{H E} + \vec{F B} + \frac{1}{9} \vec{D C} =$ ．

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四、解答题

10. 如图所示，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1, A A_{1} = 2$ ， $∠ B A D = \frac{π}{2}, ∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = \frac{π}{3}$ .

(1)、用向量 $\vec{A B}, \vec{A D}, \vec{A A_{1}}$ 表示向量 $\vec{B D_{1}}$ ，并求 $|\vec{B D_{1}}|$ ；

(2)、求 $\vec{B D_{1}} \cdot \vec{A C}$ .

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11. 在正四面体ABCD中，P是 $△ A B C$ 内部或边界上一点，满足 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ， $λ + μ = \frac{1}{2}$ ．

(1)、证明：当 $| D P |$ 取最小值时， $D P ⊥ B C$ ；

(2)、设 $\vec{D P} = x \vec{D A} + y \vec{D B} + z \vec{D C}$ ，求 $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ 的取值范围．

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12. 如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA ， PB ， PC ， PD ，点E ， F ， G ， H分别为 $△ P A B$ ， $△ P B C$ ， $△ P C D$ ， $△ P D A$ 的重心．求证：E ， F ， G ， H四点共面．

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