2025高考一轮复习（人教A版）第二十六讲事件的相互独立性

试卷日期：2024-12-22 考试类型：一轮复习

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一、选择题

1. 将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（）

A、甲与丙相互独立 B、甲与丁相互独立 C、乙与丙相互独立 D、丙与丁相互独立

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2. 在如图所示的电路中，三个开关 $A$ ， $B$ ， $C$ 闭合与否相互独立，且在某一时刻 $A$ ， $B$ ， $C$ 闭合的概率分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ，则此时灯亮的概率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{5}{8}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{8}$

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3. 已知古典概型的样本空间 $Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ， “事件 $A = {1, 2}$ ”，则命题“事件 $B = Ω$ ”是命题“事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿）.设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为 $\frac{1}{20}$ 和 $\frac{1}{21}$ ，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为（）

A、 $\frac{1}{21}$ B、 $\frac{2}{21}$ C、 $\frac{1}{420}$ D、 $\frac{1}{20}$

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5. 已知事件 $A 、 B$ ，如果 $A$ 与 $B$ 互斥，那么 $P (A B) = p_{1}$ ；如果 $A$ 与 $B$ 相互独立，且 $P (A) = 0.6, P (B) = 0.7$ ，那么 $P (A + \bar{B}) = p_{2}$ ，则 $p_{1}, p_{2}$ 分别为（）

A、 $p_{1} = 0, p_{2} = 0.9$ B、 $p_{1} = 0.42, p_{2} = 0.9$ C、 $p_{1} = 0, p_{2} = 0.72$ D、 $p_{1} = 0.42, p_{2} = 0.45$

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6. 某学生参与一种答题游戏，需要从A，B，C三道试题中选出一道进行回答，回答正确即可获得奖品.若该学生选择A，B，C的概率分别为0.3，0.4，0.3，答对A，B，C的概率分别为0.4，0.5，0.6，则其获得奖品的概率为（）

A、0.5 B、0.55 C、0.6 D、0.75

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7. 掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件 $A_{1}$ ：红骰子的点数为 $2$ ， $A_{2}$ ：红骰子的点数为 $3$ ， $A_{3}$ ：两个骰子的点数之和为 $7$ ， $A_{4}$ ：两个骰子的点数之和为 $9$ ，则（）

A、 $A_{1}$ 与 $A_{2}$ 对立 B、 $A_{3}$ 与 $A_{4}$ 不互斥 C、 $A_{1}$ 与 $A_{3}$ 相互独立 D、 $A_{2}$ 与 $A_{4}$ 相互独立

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8. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是5”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）

A、甲与乙互斥 B、丙发生的概率为 $\frac{1}{6}$ C、甲与丁相互独立 D、乙与丙相互独立

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二、多项选择题

9. 设样本空间 $Ω = \{a, b, c, d\}$ 含有等可能的样本点，且 $A = \{a, b\}$ ， $B = \{a, c\}$ ， $C = \{a, d\}$ ．则下列结论正确的有（）

A、 $P (A B) = P (A) P (B)$ B、 $P (A C) = P (A) P (C)$ C、 $P (A B C) = P (A) P (B) P (C)$ D、 $P (B C) = P (B) P (C)$

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10. 已知事件 $A, B$ 发生的概率分别为 $P (A) = \frac{1}{2}, P (B) = \frac{1}{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $A$ 与 $B$ 互斥，则 $P (A + B) = \frac{2}{3}$ B、若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (A + B) = \frac{2}{3}$ C、若 $P (A \bar{B}) = \frac{1}{3}$ ，则 $A$ 与 $B$ 相互独立 D、若 $B$ 发生时 $A$ 一定发生，则 $P (A B) = \frac{1}{6}$

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11. 设A，B为随机事件，且 $P (A)$ ， $P (B)$ 是A，B发生的概率． $P (A), P (B) \in (0, 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若A，B互斥，则 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ B、若 $P (A B) = P (A) P (B)$ ，则A，B相互独立 C、若A，B互斥，则A，B相互独立 D、 $\frac{P (\bar{A}| B)}{P (A| B)} \cdot \frac{P (\bar{B}| \bar{A})}{P (B| \bar{A})}$ 与 $\frac{P (\bar{B}| A)}{P (B| A)} \cdot \frac{P (\bar{A}| \bar{B})}{P (A| \bar{B})}$ 相等

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12. 抛出一枚质地均匀的硬币n次，得到正反两面的概率相同．事件 $A : n$ 次中既有正面朝上又有反面朝上，事件B：n次中最多有一次正面朝上，下列说法正确的是（）

A、当 $n = 2$ 时，A，B相互独立 B、当 $n = 3$ 时，A，B相互独立 C、 $n \geq 2$ 时， $P (A) = \frac{2^{n} - 2}{2^{n}}$ D、 $n \geq 2$ 时， $P (B) = \frac{n - 1}{2^{n}}$

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三、填空题

13. 设事件 $A$ 与 $B$ 相互独立， $P (A) = 0.4$ ， $P (B) = 0.9$ ，则 $P (A B) =$ ， $P (A \cup B) =$ ．

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14. 若事件 $A, B$ 发生的概率分别为 $P (A) = \frac{1}{2}, P (B) = \frac{1}{3}$ ，且 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (A \cup B) =$ .

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15. 四个村庄 $A, B, C, D$ 之间建有四条道路 $A B, B C, C D, D A$ .在某个月的30天中，每逢单数日道路 $A B, C D$ 开放， $B C, D A$ 封闭维护，每逢双数日道路 $B C, D A$ 开放， $A B, C D$ 封闭维护.一位游客起初住在村庄 $A$ ，在该月的第 $k (1 ⩽ k ⩽ 30)$ 天，他以 $\frac{1}{k}$ 的概率沿当天开放的道路去往相邻村庄投宿，以 $1 - \frac{1}{k}$ 的概率留在当前村庄，并且他在这30天里的选择是相互独立的.则第30天结束时该游客住在村庄 $B$ 的概率为.

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四、解答题

16. 为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出 $3$ 道题，编号为 $T_{1}$ ， $T_{2}$ ， $T_{3}$ ，电脑依次出题，选手按规则作答，挑战规则如下：
①选手每答对一道题目得 $5$ 分，每答错一道题目扣 $3$ 分；
②选手若答对第 $T_{i}$ 题，则继续作答第 $T_{i + 1}$ 题；选手若答错第 $T_{i}$ 题，则失去第 $T_{i + 1}$ 题的答题机会，从第 $T_{i + 2}$ 题开始继续答题；直到 $3$ 道题目出完，挑战结束；
③选手初始分为 $0$ 分，若挑战结束后，累计得分不低于 $7$ 分，则选手挑战成功，否则挑战失败．选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为 $\frac{3}{4}$ ，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：
（1）挑战结束时，选手甲共答对 $2$ 道题的概率 $P_{1}$ ；
（2）挑战结束时，选手甲恰好作答了 $2$ 道题的概率 $P_{2}$ ；
（3）选手甲闯关成功的概率 $P_{3}$ ．

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17. $A$ ， $B$ ， $C$ 三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知 $A$ 闯关成功的概率是 $\frac{2}{3}$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 三人闯关都成功的概率是 $\frac{1}{6}$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 三人闯关都不成功的概率是 $\frac{1}{12}$ .

(1)、求 $B$ ， $C$ 两人各自闯关成功的概率；

(2)、求 $A$ ， $B$ ， $C$ 三人中恰有两人闯关成功的概率.

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18. 第22届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市 $A$ 社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表 $A$ 社区参加市亚运知识竞赛．已知 $A$ 社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ，通过初赛后再通过决赛的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，假设他们之间通过与否互不影响．

(1)、求这3人中至多有2人通过初赛的概率；

(2)、求这3人都参加市知识竞赛的概率；

(3)、某品牌商赞助了 $A$ 社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元．求三人奖金总额为1200元的概率．

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19. 在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为 $α (0 < α < 1)$ ， $1 - α$ ；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为 $β (0 < β < 1), 1 - β$ ．假设每次信号的传输相互独立．

(1)、当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为 $f (α)$ ，求 $f (α)$ 的最小值；

(2)、当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量 $X$ （ $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 中任意相邻的数字均不相同时，令 $X = 1$ ），若 $β = \frac{2}{3}$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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2025高考一轮复习（人教A版）第二十六讲 事件的相互独立性

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