北师大版数学八年级上学期期末模拟卷（三）

试卷日期：2024-12-16 考试类型：期末考试

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一、选择题（每题3分，共36分）

1. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $x + y = 2$ ，且 $\{\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 7 k - 2 \\ 2 x + 3 y = 6 \end{array}$ ，则 $k$ 的值为( )

A、 $\frac{7}{6}$ B、 $\frac{7}{5}$ C、 $\frac{6}{7}$ D、 $2$

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2. 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF∥AB时，∠EDB的度数为（　　）

A、10° B、15° C、30° D、45°

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3. 下列计算正确的是（　　）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 2$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{12} \div 3 = 2$

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4. 某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中 $8$ 名同学的成绩 $($ 单位：分 $)$ 分别为： $85$ ， $81$ ， $82$ ， $86$ ， $82$ ， $83$ ， $92$ ， $89 .$ 关于这组数据，下列说法中正确的是（）

A、众数是 $92$ B、中位数是 $84.5$ C、平均数是 $84$ D、方差是 $13$

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5. 对于一次函数 $y = 2 x - 1$ ，下列结论正确的是（）

A、它的图象与 $y$ 轴交于点 $(0, - 1)$ B、 $y$ 随 $x$ 的增大而减小 C、当 $x > \frac{1}{2}$ 时， $y < 0$ D、它的图象经过第一、二、三象限

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 50 °$ ， $O$ 是 $△ A B C$ 内一点，且 $∠ A B O = 20 °$ ， $∠ A C O = 30 °$ ，则 $∠ B O C$ 的度数是（）

A、 $85 °$ B、 $95 °$ C、 $100 °$ D、 $105 °$

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7. 某班七个合作学习小组人数如下：5，5，6， $x$ ， 6，7，8，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的中位数和众数是（）

A、6，5 B、6，6 C、 $7.5$ 和6 D、 $6.5$ 和6

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8. 已知 $m = \sqrt{27} - \sqrt{3}$ ，则实数m的范围是( )

A、 $2 < m < 3$ B、 $3 < m < 4$ C、 $4 < m < 5$ D、 $5 < m < 6$

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9. 点 $P (x, y)$ 在直线 $y = - \frac{3}{4} x + 4$ 上，坐标 $(x, y)$ 是二元一次方程 $5 x - 6 y = 33$ 的解，则点P的位置在( )

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10. 将含 $60 °$ 角的直角三角板按如图方式摆放，已知 $m ∥ n$ ， $∠ 1 = 20 °$ ，则 $∠ 2 =$ （　　）

A、 $40 °$ B、 $30 °$ C、 $20 °$ D、 $15 °$

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11. 如图，将三角形纸片 $A B C$ 沿 $D E$ 折叠，点 $A$ 落在点 $F$ 处，已知 $∠ 1 + ∠ 2 = 100 °$ ，则 $∠ A$ 的度数为（）

A、 $80 °$ B、 $100 °$ C、 $50 °$ D、以上都不对

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12. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $l_{1}$ ： $y = x + 3$ 与直线 $l_{2}$ ： $y = m x + n$ 交于点 $A (- 1, b)$ ，则关于 $x$ 、 $y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l} y = x + 3 \\ y = m x + n \end{array}$ 的解为( )

A、 $\{\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 1 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x = 2 \\ y = - 1 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 2 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = - 2 \end{array}$

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二、填空题（每题3分，共18分）

13. 如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是；点B表示的数是．

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14. 观察下列运算过程：
$\frac{1}{1 + \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{{(\sqrt{2})}^{2} - 1^{2}} = \sqrt{2} - 1$
$\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{{(\sqrt{3})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
……
请运用上面的运算方法计算：
$\frac{1}{1 + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2015} + \sqrt{2017}} + \frac{1}{\sqrt{2017} + \sqrt{2019}}$ = ．

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15. 《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒 $x$ 斛、1个小桶可以盛酒 $y$ 斛．根据题意，可列方程组为．

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16. 如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E ，再分别以B、E为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ BE的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F ，作射线AF ，则∠DAF＝°．

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17. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，折叠△ABC ，使点A与点B重合，折痕DE与AB交于点D ，与AC交于点E ，则CE的长为.

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18. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ $\frac{4}{3}$ x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在第二象限，若BC＝OC＝OA，则点C的坐标为.

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三、解答题（共7题，共66分）

19. 计算：

(1)、 $\frac{1}{2} \sqrt{32} - (2 \sqrt{75} - \sqrt{0.5}) + 9 \sqrt{\frac{1}{27}}$ ；

(2)、 ${(2 - \sqrt{3})}^{2} + (2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}) + \sqrt{3}$ ．

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20. 计算：

(1)、 $\{\begin{matrix} 2 x - y = - 1 \\ 4 x + y = 7 \end{matrix}$

(2)、 $\{\begin{array}{l} x + 4 y = 14 \\ \frac{x - 3}{4} - \frac{y - 3}{3} = \frac{1}{12} \end{array}$

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E ∥ B C$ ， $E F$ 平分 $∠ A E D$ ，交 $A B$ 于点F．

(1)、若 $∠ A = 52 °$ ， $∠ B = 60 °$ ，求 $∠ A E D$ 的度数；

(2)、在（1）的条件下，判断 $E F$ 与 $A B$ 是否垂直，并说明理由；

(3)、直接写出当 $∠ A$ 与 $∠ B$ 满足怎样的数量关系时， $E F ⊥ A B$ ．

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22. 在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．

(1)、【数据描述】
如图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答下列问题．
①平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图；
②求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角α的度数．

(2)、【分析与应用】
样本数据的统计量如下表，请回答下列问题．
商家
统计量
中位数
众数
平均数
方差
甲商家
a
3
3.5
1.05
乙商家
4
b
$\bar{x}$
1.24
①直接写出表中a和b的值，并求 $\bar{x}$ 的值；
②小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点．

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23. 为迎接“创文创卫活动”，某市环卫局准备购买A、B两种型号的垃圾箱，买2个A型垃圾箱和1个B型垃圾箱共需100元；买1个A型垃圾箱和3个B型垃圾箱共需150元．

(1)、每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？

(2)、购买A、B两种型号的垃圾箱共50个，其中A型垃圾箱a（0≤a≤16）个，求购买垃圾箱的总费用w（元）与A型垃圾箱a（个）之间的函数关系式，并说明总费用最少需要多少元？

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24. 如图1所示，在A，B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地.两车同时出发，匀速行驶.图2是客车、货车离C站的路程y₁ ， y₂(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系图象.

(1)、填空：A，B两地相距千米；

(2)、求两小时后，货车离C站的路程y₂与行驶时间x之间的函数关系式；

(3)、客、货两车何时相遇?

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25. 如图，在平面直角坐标中，直线 $y = - 2 x + 6$ 与x轴相交于点B，与直线 $y = 2 x$ 相交于点A．

(1)、求 $△ A O B$ 的面积；

(2)、点P为y轴上一点，当 $P A + P B$ 取最小值时，求点P的坐标，

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商家	统计量
商家	中位数	众数	平均数	方差
甲商家	a	3	3.5	1.05
乙商家	4	b	$\bar{x}$	1.24