广东省珠海市香洲区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

试卷日期：2024-12-12 考试类型：期末考试

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一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．

1. 下列表示运动的设计图形是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 四边形的外角和是（）

A、180° B、360° C、540° D、720°

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 ${(a^{4})}^{3} = a^{7}$ C、 ${(2 a^{3})}^{2} = 4 a^{6}$ D、 $a^{6} + a^{3} = a^{2}$

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4. 分式 $\frac{x - 1}{x + 1}$ 有意义，则x应满足的条件是（）

A、 $x \neq 0$ B、 $x \neq 1$ C、 $x \neq \pm 1$ D、 $x \neq - 1$

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5. 下面四个图形中，线段 $B D$ 是 $△ A B C$ 的高的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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6. 计算： $\frac{a}{a - 2} - \frac{2}{a - 2} =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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7. 如图，一个六边形形状的木框，为使其稳定，工人师傅至少需要加固（）根木条

A、2 B、3 C、4 D、5

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8. 在平面直角坐标系中，已知点 $A (0, 1), B (2, 1)$ ， P为x轴上一点，当 $P A + P B$ 最小时，点P的坐标是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 0)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(2, 0)$

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9. 如图，在 $3 \times 3$ 的方格中，A，B两点都在小方格的格点上，若点C也在格点上，且 $△ A B C$ 是等腰三角形，那么点C的个数最多是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 如图，在等边三角形 $△ A B C$ 中，E为AB上一点，过点E的直线交AC于点F ，交BC延长线于点D ，作 $E G ⊥ A C$ 垂足为G ，如 $A E = C D, A B = a$ ，则GF的长为（）

A、 $\frac{1}{3} a$ B、 $\frac{2}{3} a$ C、 $\frac{1}{2} a$ D、 $\frac{3}{4} a$

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二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．

11. 分解因式： $a b + a^{2} =$ ．

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12. 若正n边形的每个内角的度数均为 $140 °$ ．则n的值是．

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13. 计算： $2 a^{2} b \div (- a b) =$ ．

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14. 如果 $\frac{1}{x}$ 比 $\frac{1}{2 x}$ 大1，则 $x =$ ．

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15. 若 $2^{x} \cdot 2^{y} = 2$ ，则 $x + y =$ ．

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16. 如图，已知 $∠ A O B = 60 °, O D$ 平分 $∠ A O B$ ， P是OD上一定点，以点P为顶点作 $∠ M P N = 120 °$ ，将 $∠ M P N$ 绕点P旋转，PM与OA交于点E ， PN与OB交于F ，连接EF交OP于点G（点G在O ， P之间），以下4个结论：① $△ E P F$ 是等腰三角形；②当 $P M ⊥ O A$ 时， $△ O E F$ 是等边三角形；③当 $E F ⊥ O A$ 时， $△ E O G ≌ △ F P G$ ；④在旋转过程中，四边形OEPF的面积也随之变化．其中正确的选项有．

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三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）

17. 化简： $(- 3 x - 2) (3 x - 2) - 4$ ．

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18. 如图， $A C ⊥ B C, B D ⊥ A D$ ，垂足分别为C ， D ， AC与BD交于点O ， $A O = B O$ ，求证：． $B C = A D$ ．

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19. 先化简，再求值： $\frac{x^{2} - x}{3 x + 3} + \frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，其中 $x = 5$ ．

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四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）

20. 如图，在 $△ A P C$ 中， $A P = P Q = A Q = Q C$ ．

(1)、求 $∠ P A C$ 的度数；

(2)、过点Q作 $B Q ⊥ A Q$ ，交AP的延长线于点B ，求证： $△ P A C ≌ △ A Q B$ ．

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21. 在2023年粤港澳青少年机器人大赛中，参赛选手用程序控制小型赛车进行50m比赛，“梦想号”和“彩虹号”两辆赛车在赛前训练时，“梦想号”从起点出发8秒后，“彩虹号”才从起点出发，结果“彩虹号”迟到2秒到达终点．已知“彩虹号”的平均速度是“梦想号”的2.5倍，求两辆赛车的平均速度各是多少？

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22. 在 $△ A B C$ 中， $A B > A C$ ，求证： $∠ B < ∠ C$ ．

(1)、如图1，小明以“折叠”为思路：将 $△ A B C$ 沿AE折叠，使点C落在AB边的点D处。然后可以证明 $∠ B < ∠ C$ ，试写出小明的证明过程；

(2)、在条件不变的情况下，请仍以“折叠”为思路，在图2中设计一种不同于小明的证明方法（要求有必要的辅助线和证明过程）．

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五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）

23. 【阅读理解】
若x满足 $(5 - x) (x - 2) = 2$ ，求 $(5 - x)^{2} + (x - 2)^{2}$ 的值．
解：设 $5 - x = a, x - 2 = b$ ，
则 $(5 - x) (x - 2) = a b = 2, a + b = (5 - x) + (x - 2) = 3$ ，
$∴ (5 - x)^{2} + (x - 2)^{2} = a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b = 3^{2} - 2 \times 2 = 5$ ．
【解决问题】

(1)、若x满足 $(7 - x) (x - 3) = 3$ ，则 $(7 - x)^{2} + (x - 3)^{2} =$ ；

(2)、若x满足 $(x + 1)^{2} + (x - 3)^{2} = 26$ ，求 $(x + 1) (x - 3)$ 的值；

(3)、如图，已知正方形AEMG被分割成4个部分，其中四边形CDEF与BCNG为正方形。若 $A B = x, A D = x + 1$ ，四边形ABCD的面积为5，求正方形AEMG的面积．

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24. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, A C = B C, A D ⊥ C E, B E ⊥ C E$ ，垂足分别为D ， E ．

(1)、求证： $D C = E B$ ；

(2)、若点F是AB的中点，连接CF ， FD ，并延长FD交BC于点G ，如果 $∠ D A C = α$ ，求 $∠ B G F$ 的度数（用含 $α$ 的式子表示）；

(3)、在（2）的条件下，若 $D E = 2 B E$ ，求 $△ C D F$ 的面积 $S_{1}$ 与 $△ A D F$ 的面积 $S_{2}$ 之比．

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