【培优版】北师大版数学八年级上册第五章二元一次方程组同步测试卷

试卷日期：2024-12-01 考试类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共24分）

1. 若方程组 ${\begin{cases} a_{1} x + y = c_{1} \\ a_{2} x + y = c_{2} \end{cases}$ 的解是 ${\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases}$ ，则方程组 ${\begin{cases} a_{1} x + y = a_{1} - c_{1} \\ a_{2} x + y = a_{2} - c_{2} \end{cases}$ 的解是（）

A、 ${\begin{cases} x = 1 \\ y = 3 \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} x = 1 \\ y = - 3 \end{cases}$ C、 ${\begin{cases} x = - 1 \\ y = 3 \end{cases}$ D、 ${\begin{cases} x = - 1 \\ y = - 3 \end{cases}$

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2. 利用加减消元法解二元一次方程组 $\{\begin{matrix} 2 x + 5 y = - 10 ① \\ 5 x - 3 y = 6 ② \end{matrix}$ 时，下列做法，正确的是（）

A、要消去 $y$ ，可以将 $① \times 5 + ② \times 2$ B、要消去 $x$ ，可以将 $① \times 3 + ② \times (- 5)$ C、要消去 $y$ ，可以将 $① \times 5 + ② \times 3$ D、要消去 $x$ ，可以将 $① \times 5 - ② \times 2$

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3. 小聪去商店买笔记本和钢笔，共用了60元钱，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，若笔记本和钢笔都购买，且笔记本的数量多于钢笔的数量，则小聪的购买方案有（）

A、3种 B、4种 C、5种 D、6种

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4. 某农场去年计划生产玉米和小麦共200吨，采用新技术后，实际产量为225吨，其中玉米超产 $5 %$ ，小麦超产 $15 %$ ，设该农场去年实际生产玉米x吨、小麦y吨，则所列方程组正确的是（　　）

A、 $\{\begin{matrix} x + y = 200 \\ (1 + 5 %) x + (1 + 15 %) y = 225 \end{matrix}$ B、 $\{\begin{matrix} x + y = 225 \\ (1 - 5 %) x + (1 - 15 %) y = 200 \end{matrix}$ C、 $\{\begin{matrix} x + y = 225 \\ \frac{x}{1 - 5 %} + \frac{y}{1 - 15 %} = 225 \end{matrix}$ D、 $\{\begin{matrix} x + y = 225 \\ \frac{x}{1 + 5 %} + \frac{y}{1 + 15 %} = 200 \end{matrix}$

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5. 如图，根据直线l₁和l₂的交点坐标，可以得到下列哪个方程组的解?( ).

A、 $\{\begin{matrix} y = 2 x + 1, \\ y = x + 2 \end{matrix}$ B、 $\{\begin{matrix} y = - x + 3, \\ y = 3 x - 5 \end{matrix}$ C、 $\{\begin{matrix} y = - 2 x + 1, \\ y = x - 1 \end{matrix}$ D、 $\{\begin{matrix} y = - 2 x + 1, \\ y = x + 1 \end{matrix}$

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6. 如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．有以下两个结论，结论I：若m的值为3，则y的值为4；结论Ⅱ：不论m ， n取何值， $x - y$ 的值一定为3．下列说法正确的是（）

A、I，Ⅱ都对 B、I对，Ⅱ不对 C、I不对，Ⅱ对 D、I，Ⅱ都不对

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7. 已知关于x，y的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} a x + b y = 3 \\ c x + d y = 4 \end{matrix}$ 的解为 $\{\begin{matrix} x = - 5 \\ y = 1 \end{matrix}$ ，且 $\{\begin{matrix} a (3 m + n) + b (m + 3 n) = 3 \\ c (3 m + n) + d (m + 3 n) = 4 \end{matrix}$ ，则 ${(m + n)}^{2024}$ 的值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、0 D、2024

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8. 已知某速食店销售的套餐内容为一块鸡排和一杯可乐，且一份套餐的价钱比单点一块鸡排再单点一杯可乐的总价钱便宜 4 元．阿俊打算到该速食店买两份套餐，若他发现店内有单点一块鸡排就再送一块鸡排的促销活动，且单点一块鸡排再单点两杯可乐的总价钱，比两份套餐的总价钱便宜 1 元，则根据题意，下列结论正确的是（）

A、一份套餐的价钱为 14 元 B、一份套餐的价钱为 12 元 C、单点一块鸡排的价钱为 9 元 D、单点一块鸡排的价钱为 7 元

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二、填空题（每题3分，共15分）

9. 在直角坐标系内，一次函数. $y = k_{1} x + b_{1}$ 与y $= k_{2} x + b_{2}$ 的图象如图所示，则关于x，y的方程组 $\{\begin{matrix} y - k_{1} x = b_{1}, \\ y - k_{2} x = b_{2} \end{matrix}$ 的解是.

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10. 已知方程组 $\{\begin{cases} 2 x + 3 y = k \\ 3 x - 4 y = k + 11 \end{cases}$ 的解 $x, y$ 满足方程 $5 x - y = 3$ ，则 $k =$ ．

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11. 已知 $- 2 x^{m - 1} y^{3}$ 和 $\frac{1}{2} x^{n} y^{m + n}$ 是同类项，那么 ${(n - m)}^{2024} =$ .

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12. 若关于 $x$ ， $y$ 的 ${\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 的解是 ${\begin{array}{l} x = 4 \\ y = - 12 \end{array}$ ，则关于 $m$ ， $n$ 的方程组 ${\begin{array}{l} 2 a_{1} (m - n) - 3 b_{1} (m + n) = 5 c_{1} \\ 2 a_{2} (m - n) - 3 b_{2} (m + n) = 5 c_{2} \end{array}$ 的解是．

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13. 如图，一次函数 $y = \frac{4}{3}$ x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上的一动点，连接BC，将 $△ A B C$ 沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为.

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三、解答题（共7题，共61分）

14. 已知：(2x+5y+4)²+|3x-4y-17|=0，求 $\sqrt{4 x - 2 y}$ 的平方根．

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15. 对于有理数 $x$ ， $y$ ，定义新运算： $x * y = a x + b y$ ， $x \otimes y = a x - b y$ ，其中 $a$ ， $b$ 是常数 $.$ 已知 $3 * 2 = - 1$ ， $2 \otimes 1 = 4$ ．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若 $x * y + x \otimes y = 10$ ，求 $x$ 的值；

(3)、若关于 $x$ ， $y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l} x * y = 8 + m \\ x \otimes y = 5 m \end{array}$ 的解也满足方程 $x - y = 6$ ，求 $m$ 的值；

(4)、若关于 $x$ ， $y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l} a_{1} x * b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x \otimes b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 的解为 $\{\begin{array}{l} x = 12 \\ y = 5 \end{array}$ ，直接写出关于 $x$ ， $y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l} 4 a_{1} (x + y) * 5 b_{1} (x - y) = 3 c_{1} \\ 4 a_{2} (x + y) \otimes 5 b_{2} (x - y) = 3 c_{2} \end{array}$ 的解．

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16. 如图，直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 和直线 $y = - x + 2$ 相交于点A ．

(1)、求点A的坐标；

(2)、在y轴上有一动点 $P (0 ， p)$ ，过点P作y轴的垂线，分别交直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 和 $y = - x + 2$ 于点B、C ，若 $B C = 8$ ，求p的值；

(3)、在（2）的条件下，点M为y轴正半轴上任意一点，当 $△ M B C$ 是以 $B C$ 为斜边的直角三角形时，请直接写出点M的坐标．

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17. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $A B ： y = k x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，且直线 $A B$ 与直线 $y = \frac{1}{2} x$ 平行．

(1)、 $k =$ ；点 $A$ 的坐标；点 $B$ 的坐标是；

(2)、若点 $C (2 ， 0)$ ，将线段 $A B$ 水平向右平移 $m$ 个单位 $(m > 0)$ 得到线段 $A^{'} B^{'}$ ，连接 $A^{'} C$ ， $B^{'} C$ ．若△ $A^{'} B^{'} C$ 是等腰三角形，求 $m$ 的值；

(3)、点 $P$ 为 $y$ 轴上一动点，连接 $A P$ ，若 $∠ P A B = 45 °$ ，请求出点 $P$ 坐标．

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18. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = k x + b$ 与 $x$ 轴交于点 $B (- 4 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $A$ ，直线 $y = - 2 x + 4$ 过点 $A$ ，与 $x$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、点 $A$ 的坐标是；直线 $A B$ 的函数表达式；

(2)、若点 $P$ 是直线 $A B$ 上一动点，且 $S_{Δ P B C} = S_{Δ A O B}$ ，求 $P$ 点的坐标；

(3)、点 $M$ 在第二象限，当 $S_{Δ M A B} = S_{Δ A O B}$ 时，动点 $N$ 从点 $B$ 出发，先运动到点 $M$ ，再从点 $M$ 运动到点 $C$ 后停止运动．点 $N$ 的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为 $t$ （秒 $)$ ，请求出 $t$ 的最小值．

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19. 根据如表素材，探索完成任务．

背景	深圳某学校在组织开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．
素材1	若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元：若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．
素材2	为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．
问题解决
任务1	问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2	在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？
任务3	根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的 $\frac{1}{3}$ ．则其中 B型加料的奶茶买了多少杯？

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20. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (- 2 ， 0) ， B (4 ， 0)$ ，点C在y轴的负半轴上，连接 $A C ， B C$ ，满足 $∠ A C O = ∠ O A C$ ．

(1)、求直线 $B C$ 的解析式；

(2)、已知直线 $l_{1} ： y = \frac{3}{2} x + b$ 经过点B ．
①若点D为直线 $l_{1}$ 上一点，若 $S_{△ B C D} = S_{△ A B C}$ ，求点D的坐标；
②过点O作直线 $l_{2} ∥ B C$ ，若点M、N分别是直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 上的点，且满足 $∠ A C O = ∠ M N B$ ．请问是否存在这样的点 $M 、 N$ ，使得 $△ M B N$ 为直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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【培优版】北师大版数学八年级上册第五章 二元一次方程组 同步测试卷

一、选择题（每题3分，共24分）

二、填空题（每题3分，共15分）

三、解答题（共7题，共61分）

【培优版】北师大版数学八年级上册第五章二元一次方程组同步测试卷