分组分解法因式分解—人教版数学八（上）知识点训练

试卷日期：2024-12-01 考试类型：复习试卷

前去【出卷网】下载

一、基础夯实

1. 把多项式 $a b + a + b + 1$ 分解因式的结果是（）

A、 $（ a - 1 ）（ b - 1 ）$ B、 $（ a + 1 ）（ b + 1 ）$ C、 $（ a + 1 ）（ b - 1 ）$ D、 $（ a - 1 ）（ b + 1 ）$

查看试题解析
2. 把 $a^{2} - b^{2} + 2 b - 1$ 因式分解，正确的是（）

A、 $(a + b) (a - b) + 2 b - 1$
B、 $(a + b + 1) (a - b - 1)$
C、 $(a + b - 1) (a + b + 1)$
D、 $(a + b - 1) (a - b + 1)$

查看试题解析
3. 用分组分解法将 $x^{2} - x y + 2 y - 2 x$ 分解因式，下列分组不恰当的是（）

A、 $(x^{2} - 2 x) + （ 2 y - x y ）$ B、 $(x^{2} - x y) + （ 2 y - 2 x ）$ C、 $(x^{2} + 2 y) + （ - x y - 2 x ）$ D、 $(x^{2} - 2 x) - （ x y - 2 y ）$

查看试题解析
4. 把 $1 - a^{2} - b^{2} - 2 a b$ 分解因式，正确的分组为（）

A、 $1 - (a^{2} + b^{2} + 2 a b)$ B、 $(1 - a^{2}) - (b^{2} - 2 a b)$ C、 $(1 - 2 a b) + (- a^{2} - b^{2})$ D、 $(1 - a^{2} - b^{2}) - 2 a b$

查看试题解析
5. 将多项式 $x^{2} - y^{2} + 3 x - 3 y$ 分解因式的结果为（）

A、 $（ x + y + 3 ）（ x - y ）$ B、 $（ x - y - 3 ）（ x - y ）$ C、 $（ x + y - 3 ）（ x - y ）$ D、 $（ x - y + 3 ）（ x - y ）$

查看试题解析
6. 因式分解 $a^{3} + a^{2} b - a b^{2} - b^{3}$ 的值为（）

A、 $（ a - b ）^{2} （ a + b ）$ B、 $（ a + b ）^{2} （ a - b ）$ C、 $a b （ a + b ）^{2}$ D、 $a b （ a - b ）^{2}$

查看试题解析
7. 因式分解： $x y^{2} - 9 x =$ .

查看试题解析
8. 分解因式： $a^{2} b + a b^{2} - a - b =$ .

查看试题解析
9. 因式分解： $x^{2} + 9 x y + 18 y^{2} - 3 x - 9 y =$

查看试题解析
10. 多项式 $x^{2} + 2 y^{2} - 2 x y - 8 y + 10$ 的最小值为．

查看试题解析
11. 分解因式： $(x + y - 2 xy) (x + y - 2) + {(xy - 1)}^{2} =$ ．

查看试题解析
12. 用分组分解法分解因式：

(1)、 $x^{2} - y^{2} - 5 x + 5 y$ ．

(2)、 $4 a^{2} - 4 a b + b^{2} - 1$ ．

查看试题解析
13. 八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将 $2 a - 3 a b - 4 + 6 b$ 因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式 $= (2 a - 3 a b) - (4 - 6 b) = a (2 - 3 b) - 2 (2 - 3 b) = (2 - 3 b) (a - 2)$ ；
解法二：原式 $= (2 a - 4) - (3 a b - 6 b) = 2 (a - 2) - 3 b (a - 2) = (a - 2) (2 - 3 b)$ ．
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）

(1)、【类比】请用分组分解法将 $x^{2} - a^{2} + x + a$ 因式分解；

(2)、【挑战】请用分组分解法将 $a x + a^{2} - 2 a b - b x + b^{2}$ 因式分解；

(3)、若 $a^{2} + b^{2} = 9$ ， $a - b = 2$ ，请用分组分解法先将 $a^{4} - 2 a^{3} b + 2 a^{2} b^{2} - 2 a b^{3} + b^{4}$ 因式分解，再求值．

查看试题解析
14. 下图是一道例题及部分解答过程，其中 $A ， B$ 是两个关于 $x ， y$ 的多项式．

请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题：

(1)、直接写出多项式 $A$ 和 $B$ ，并求出该例题的运算结果．

(2)、求多项式 $A$ 与 $B$ 的平方差．

查看试题解析

二、能力提升

15. 若三角形的三条边长分别为a，b，c且a²b-a²c+b²c-b³=0 ，则这个三角形一定是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

查看试题解析
16. 已知 $x ， y ， z$ 是正整数， $x > y$ ，且 $x^{2} - x y - x z + y z = 23$ ，则 $x - z$ 等于（）

A、-1 B、1或23 C、1 D、-1或23

查看试题解析
17. 若实数a，b，c满足条件 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a + b + c} ，$ 则a，b，c中（）

A、必有两个数相等 B、必有两个数互为相反数 C、必有两个数互为倒数 D、每两个数都不相等

查看试题解析
18. 观察下列分解因式的过程： $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 16 = {(x - y)}^{2} - 16 = (x - y + 4) (x - y - 4)$ ，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法，已知a ， b ， c满足 $a^{2} - b^{2} - a c + b c = 0$ ，则以a ， b ， c为三条线段首尾顺次连接围成一个三角形，下列描述正确的是（）

A、围成一个等腰三角形 B、围成一个直角三角形 C、围成一个等腰直角三角形 D、不能围成三角形

查看试题解析
19. 计算 $\frac{2024^{3} - 2 \times 2024^{2} - 2022}{2024^{3} + 2024^{2} - 2025}$ 的结果为.

查看试题解析
20. 有些多项式不能直接运用提取公因式法分解因式，但它的某些项可以通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如 $m x + n x + m y + n y = (m x + n x) + (m y + n y) = x (m + n) + y (m + n) = (m + n) (x + y)$ ．根据上面的方法因式分解：

(1)、 $2 a x + 3 b x + 4 a y + 6 b y$ ；

(2)、 $m^{3} - m n^{2} - m^{2} n + n^{3}$ ．

(3)、已知a，b，c是 $△ A B C$ 的三边，且满足 $a^{2} - a b + c^{2} = 2 a c - b c$ ，判断 $△ A B C$ 的形状并说明理由．

查看试题解析

三、拓展创新

21. 若一个整数能表示成 $a^{2} + b^{2} (a ， b$ 是正整数) 的形式，则称这个数为 “丰利数”．例．如： 2 是 “丰利数”，因为 $2 = 1^{2} + 1^{2}$ ；再．如， $M =$ $x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = (x + y)^{2} + y^{2} (x + y ， y$ 是正整数)，所以 $M$ 也是 “丰利数”．

(1)、请写一个最小的三位 “丰利数”是，并判断 20 “丰利数” (填“是”或“不是”)；

(2)、已知 $S = x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + k (x ， y$ 是整数， $k$ 是常数)，要使 $S$ 为 “丰利数”，试求出符合条件的一个 $k$ 值 $(10 ⩽ k < 200)$ ，并说明理由．

查看试题解析