广东省深圳市宝安中学（集团）龙津中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

试卷日期：2024-11-15 考试类型：期中考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ ， $B = \{x |- 1 \leq x < 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0\}$ B、 $\{- 1, 0, 1\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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2. 命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} > 1 - 2 x$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} < 1 - 2 x$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} \leq 1 - 2 x$ C、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} \leq 1 - 2 x$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} < 1 - 2 x$

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3. 已知幂函数 $f (x)$ 图象过点 $P (\sqrt{2}, 2)$ ，则 $f (6)$ 等于（）

A、12 B、19 C、24 D、36

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4. 已知函数 $f (x) = 4 x^{2} - m x + 5$ 在区间 $[- 2, + \infty)$ 上是增函数，在区间 $(- \infty, - 2]$ 上是减函数，则 $f (1)$ 等于（）

A、 $- 7$ B、1 C、17 D、25

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5. 已知命题“ $\exists x \in R$ ，使 $(m - 2) x^{2} + (m - 2) x + 1 \leq 0$ ”是假命题，则实数m的取值范围为（）

A、 $m > 6$ B、 $2 < m < 6$ C、 $2 \leq m < 6$ D、 $m \leq 2$

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6. 若 $f (x)$ 是偶函数且在 $[0, + \infty)$ 上单调递增，又 $f (- 2) = 1$ ，则不等式 $f (x) > 1$ 的解集为（）

A、 $\{x |- 2 < x < 2\}$ B、 ${x | x < - 2$ 或 $x > 2}$ C、 ${x | x < - 2$ 或 $0 < x < 2}$ D、 ${x | x > 2$ 或 $- 2 < x < 0}$

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7. 若函数 $f (2 x - 1)$ 的定义域为 $[- 3, 1]$ ，则 $y = \frac{f (3 - 4 x)}{\sqrt{x - 1}}$ 的定义域为（）

A、 $\{1\}$ B、 $(1, \frac{3}{2}]$ C、 $(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}]$ D、 $(1, \frac{5}{2}]$

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8. 若 $a > b$ ，且 $a b = 2$ ，则 $\frac{{(a - 1)}^{2} + {(b + 1)}^{2}}{a - b}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{5} - 2$ B、 $2 \sqrt{6} - 4$ C、 $2 \sqrt{5} - 4$ D、 $2 \sqrt{6} - 2$

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二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的是（）

A、命题“ $\forall x > 0$ ，都有 $x^{2} > x - 1$ ”的否定是“ $\exists x \leq 0$ ，使得 $x^{2} \leq x - 1$ ” B、当 $x > 1$ 时， $2 x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2} + 2$ C、若不等式 $a x^{2} + 2 x + c > 0$ 的解集为 $\{x |- 1 < x < 2\}$ ，则 $a + c = 2$ D、“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的充分不必要条件

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10. 下列说法正确的是（）

A、 $y = \sqrt{1 + x} \cdot \sqrt{1 - x}$ 与 $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ 表示同一个函数 B、命题 $p : \forall x \in R, \frac{x}{x - 1} > 0$ ，则 $\neg p : \exists x \in R, \frac{x}{x - 1} \leq 0$ C、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} - x^{2} - a x - 5 (x \leq 1) \\ \frac{a}{x} (x > 1) \end{matrix}$ 在 $R$ 上是增函数，则实数 $a$ 的取值范围是 $[- 3, - 1]$ D、函数 $y = 1 - x + \sqrt{1 - 2 x}$ 的值域为 $[\frac{1}{2}, + \infty)$

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11. 已知函数 $f (x) = x |x - a|$ ， $a \in R$ ，则下列判断中正确的有（）

A、存在 $k \in R$ ，函数 $y = f (x) - k$ 有 $4$ 个零点 B、存在常数 $a$ ，使 $f (x)$ 为奇函数 C、若 $f (x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上最大值为 $f (1)$ ，则 $a$ 的取值范围为 $a \leq 2 \sqrt{2} - 2$ 或 $a \geq 2$ D、存在常数 $a$ ，使 $f (x)$ 在 $[1, 3]$ 上单调递减

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知集合 $A = \{1, 3, 2 - m\}$ ，集合 $B = \{3, m^{2}\}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则 $m =$ .

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13. 已知函数 $f (x) = \frac{a x - 1}{x - a}$ 在 $(2, + \infty)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是.

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14. 若函数 $f (x) = \{\begin{cases} - 2 x^{2} + 4 x, x > 0 \\ 2 x^{2}, x \leq 0 \end{cases}$ 在区间 $(a - 1, 3 - 2 a)$ 上有最大值，则实数a的取值范围是.

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四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 已知 $p$ ：关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - 4 a x + 3 a^{2} \leq 0 (a > 0)$ 的解集为 $A$ ， $q$ ：不等式 $\frac{x - 5}{x - 2} \leq 0$ 的解集为 $B$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，求 $a$ 的取值范围.

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16. 某开发商计划2024年在泉州开发新的游玩项目，全年需投入固定成本 $300$ 万元，若该项目在2024年有 $x$ 万人游客，则需另投入成本 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = \{\begin{matrix} 25, 0 < x < 5 \\ x^{2} + 20 x - 100, 5 \leq x < 20 \\ 61 x + \frac{900}{x} - 565, x \geq 20 \end{matrix}$ ，该游玩项目的每张门票售价为 $60$ 元．

(1)、求2024年该项目的利润 $W (x)$ （万元）关于人数 $x$ （万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）；

(2)、当2024年的游客为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少．

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17. 已知 $x, y > 0$ 满足 $x + y = 6$ .

(1)、求 $\frac{y}{x} + \frac{3}{y}$ 的最小值；

(2)、若 $x^{2} + 4 y^{2} \geq m (x + 4 y)$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 4}$ 是定义在 $(- 2, 2)$ 上的奇函数，且 $f (1) = \frac{1}{5}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $(- 2, 2)$ 上的单调性，并用定义证明；

(3)、解不等式 $f (2 t) + f (t - 1) > 0$ ．

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19. 设定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足：①对 $\forall x, y \in R$ ，都有 $f (x + y) = \frac{f (x) + f (y)}{1 + f (x) f (y)}$ ；②当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ；③不存在 $x \in R$ ，使得 $|f (x)| = 1$ .

(1)、求证： $f (x)$ 为奇函数；

(2)、求证： $f (x)$ 在R上单调递增；

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