广东省深圳市宝安第一外国语学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

试卷日期：2024-11-12 考试类型：期中考试

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一、单选题（单选题，8小题，每题5分，共40分）

1. 已知集合 $A = {x ∣ - 1 < x < 3}$ ， $B = {- 1 ， 1 ， 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 命题 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 1 < 0$ 的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 > 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 1 > 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 \geq 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 1 \geq 0$

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3. 设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的(　　)

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 若a，b，c 是是实数，则下列选项正确的是（）

A、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ B、若 $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$ ，则 $a > b$ C、若 $a^{2} > b^{2}$ ，则 $a > b$ D、若 $| a | > | b |$ ，则 $a > b$

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5. 已知不等式 $a x^{2} - b x - 1 \geq 0$ 的解集是 $[- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{3}]$ ，则不等式 $x^{2} - b x - a < 0$ 的解集是（）

A、 $(2 ， 3)$ B、 $(- \infty ， 2) \cup (3 ， + \infty)$ C、 $(\frac{1}{3} ， \frac{1}{2})$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{2} ， + \infty)$

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6. 设 $a = {0.6}^{0.6}$ ， $b = {0.6}^{1.2}$ ， $c = {1.2}^{0.6}$ 中，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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7. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）

A、 $f (x) = x + 1; g (x) = x + 2$ B、 $f (x) = |x|; g (x) = \sqrt{x^{2}}$ C、 $f (x) = x^{2}; g (x) = \frac{x^{3}}{x}$ D、 $f (x) = x^{2}; g (t) = t^{2}$

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8. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，如果不等式 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{m}{2 a + b}$ 恒成立，那么 $m$ 的最大值等于（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）

9. 下列说法正确的是（）

A、0∈∅ B、∅⊆{0} C、若a∈N，则-a∉N D、π∉Q

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10. 下列说法正确的有（）

A、当 $n > 0$ 时，幂函数 $y = x^{n}$ 是增函数. B、函数 $f (x)$ 的定义域是 $[- 2, 3]$ ，则函数 $f (x + 1)$ 的定义域是 $[- 3, 2]$ . C、 $f (x) = 3 - a^{x}^{+ 1}$ 的图象恒过定点 $(- 1, 2)$ . D、函数 $f (x) = {(x + a)}^{2} + 1$ 是偶函数，则 $a = 0$ .

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11. 函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数且在 $[0, + \infty)$ 上单调递减， $f (- 2) = 1$ ，则满足不等式 $f (x - 1) < 1$ 的 $x$ 的取值可能是（）

A、 $- 2$ B、1 C、3 D、5

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三、填空题（本小题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 函数 $f (x) = \sqrt{3 - x} + \frac{x + 1}{x - 1} + {0.3}^{x}$ 的定义域为.

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13. 计算： ${(0.25)}^{- 0.5} + {(\frac{1}{27})}^{- \frac{1}{3}} - \sqrt[5]{32} =$ .

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14. 将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加（只考虑涨价的情况），售价 $b$ 的取值范围应是.

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四、解答题（本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 设集合 $A = {x ∣ - 1 < x < 3}$ ，集合 $B = {x ∣ 2 - a < x < 2 + a}$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求 $A \cup B$ 和 $A \cap B$ ；

(2)、 $A \cup B = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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16. 已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 3 - x^{2} & x > 0 \\ 2 & x = 0 \\ 1 - 2 x & x < 0 \end{matrix}$
（1）画出函数 $f (x)$ 的图象；
（2）求 $f (f (3)), f (a^{2} + 1) (a \in R)$ 的值；
（3）当 $f (x) \geq 2$ 时，求x的取值范围.

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17. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + (a - 2) x + \frac{1}{4} (a \in R)$ .

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集是实数集 $R$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a < 0$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) - \frac{9}{4} \leq 0$ .

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18. 函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时，函数的解析式为 $f (x) = \frac{2 x + 3}{x + 1}$ .

(1)、求 $f (- 2)$ 的值；

(2)、用定义证明 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是减函数；

(3)、当 $x < 0$ 时，求函数的解析式.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{3^{x} + b}{3^{x} + 1}$ 是定义域为 $R$ 的奇函数.

(1)、求实数 $b$ 的值；

(2)、已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，若对于任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [1, 3]$ ，都有 $f (x_{1}) + \frac{3}{2} \geq a^{x_{2} - 2}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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